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1、研究生录取问题,摘 要：本文将研究生录取问题和跟导师之间的双向选择问题.分别转化成层次分析问题和线性规划中的0-1 规划问题。首先利用层次分析法对进入复试的学生进行差额录取，再在所有可能的师生配对方案中找出使得总体满意度最大的一种方案，作为师生间的最佳配对方案，达到双向选择的目的。对于满意度量化中各种权值的具体赋,值，我们利用层次分析中权值矩阵的一致性检验法则进行了检验计算，使得每个最终配对方案的可信度达到最大。在比较各个方案的总体满意度大小的基础上，我们提出了更能体现双向选择的录取方案。关键词：集对分析、 层次分析法 、0-1 规划 、双向选择,某学校系计划招收 10 名计划内研究生，依照有
2、关规定由初试上线的前15名学生参加复试，专家组由8 位专家组成。在复试过程中，要求每位专家对每个参加复试学生的以上个方面都给出一个等级评分，从高到低共分为A,B,C,D四个等级，并将其填入面试表内。所有参加复试学生的初试成绩、各位专家对学生的个方面专长的评分。,问题提出,该系现有10 名导师拟招收研究生，分为四个研究方向。导师的研究方向、专业学术水平（发表论文数、论文检索数、编（译）著作数、科研项目数），以及对学生的期望要求。在这里导师和学生的基本情况都是公开的。要解决的问题是：,(1) 首先，请你综合考虑学生的初试成绩、复试成绩等因素，帮助主管部门确定10 名研究生的录取名单。然后，要求被录
3、取的10 名研究生与10 名导师之间做双向选择，即学生可根据自己的专业发展意愿（依次申报个专业志愿）、导师的基本情况和导师对学生的期望要求来选择导师；导师,根据学生所报专业志愿、专家组对学生专长的评价和自己对学生的期望要求等来选择学生。请你给出一种10 名研究生和导师之间的最佳双向选择方案（并不要求一名导师只带一名研究生），使师生双方的满意度最大。(2) 根据上面已录取的10 名研究生的专业志愿，如果每一位导师只能带一名研究生，,请你给出一种10 名导师与10 名研究生双向选择的最佳方案，使得师生双方尽量都满意。(3) 如果由十位导师根据初试的成绩及专家组的面试评价和他们自己对学生的要求条件录
4、取研究生，那么，10 名研究生的新录取方案是什么？为简化问题，假设没有申报专业志愿，请你给出这10 名研究生各申,报一名导师的策略和导师各选择一名研究生的策略。相互选中的即为确定；对于剩下的导师和学生，再按上述办法进行双向选择，直至确定出每一名导师带一名研究生的方案，使师生都尽量满意。(4) 学校在确定研究生导师的过程中，要充分考虑学生的申报志愿情况。为此，学校,要求根据10 名导师和15 名学生的综合情况选择5 名导师招收研究生，再让这5 名导师在15 名学生中择优录取10 名研究生。请你给出一种导师和研究生的选择（录取）方案，以及每一名导师带名研究生的双向选择最佳策略。(5) 请你设计一种
5、更能体现“双向选择”的研究生录取方案，提供给主管部门参考，并,说明你的方案的优越性。二 模型的假设1 学生在衡量自己与导师期望要求之间的差异时，用的是专家组对自己的评分表据，而不是自我评价的数值。2 在量化学生对导师的满意度时，学生把导师是否与自己的专业一致看得最重要，在量化导师对学生的满意度时，导师把自己,对学生的期望要求看得最重要。3 不考虑两个或多个导师带一个学生的情况。三符号说明CI :一致性度量指标Ci :层次分析法中的第i 个因素C :正互反矩阵 max:正互反矩阵的最大特征值,Q: 模型中第三层每个方案对第二层中每个因素的权向量构成的矩阵CR:一致性比率Q: 归一化权向量S :双
6、向选择的满意度目标矩阵Sij: 学生i与导师j之间双向选择的满意度Mij:学生i 与导师j 专业匹配满意度,gij:学生i 对导师j 水平的满意度rij :学生i与导师j期望要求匹配满意度Wmij:学生i 与导师j 专业匹配满意度加权系数Wgij:生i 对导师j 水平的满意度加权系数Wrij:学生i与导师j期望要求匹配满意度加权系数A, B,C,D 专家对学生的面试评分等级,u 联系度a 同一度b 差异度n 差异度系数c 对立度m 对立度系数A:在学生某项成绩评分中持A 意见的专家占总专家的百分比,B:在学生某项成绩评分中持B 意见的专家占总专家的百分比C在学生某项成绩评分中持B 意见的专家占
7、总专家的百分比D在学生某项成绩评分中持B 意见的专家占总专家的百分比,四模型的分析与建立,研究生录取问题和公司人力资源配置问题非常类似，都是通过双向选择更好地优化组织的人员结构，提高组织的整体效能。但由于在实际操作中尚缺乏科学，可行的方法，往往达不到理想的效果。我们知道，组织是一个多因素，多层次的人造系统，是由许多相互作用相互依存的要素组成的有机整体，要使它形成一个合理、有,效的结构，必须将人员配置的方法建立在对构成组织的相关要素进行综合、系统分析和客观评价的基础上。考虑到组织的人员结构是不同素质、不同能力的人在组织内各岗位上的分布状态。我们建模的思路是，以提高组织的整体效能（师生双方总的满意
8、度）为目标，通过对学生、导师进行定量测评和综合分析，,建立一个系统优化模型，以此寻求学生和导师之间的最佳对应，实现招生调剂的优化。以下就方法和模型的建立分步阐述：（一）、用层次分析法对候选研究生进行测评排名。（1）层次分析法介绍：层次分析法是一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法，它用来帮助我们处理决策问题。特别是考虑的因素较多的决策问题，而且各,个因素的重要性、影响力、或者优先程度难以量化的时候，层次分析法为我们提供了一种科学的决策方法。层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的。现在便用层次分析法模型来对15 名学生的成绩做排序。设最上层为目标层，
9、即最后的排名；中间层为准则层，有初试成绩、复试中表现出来的灵活性、创造性、知识面、表达力、外语等6 个准则；最下层为方案层，有15 名学生供选择。各层联系用相连的直线表示。（如下图）,通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重。这些权重在人的思维过程中通常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法。考虑到待选学生6 个评测因素中，初试成绩与复试中表现出来的灵活性、创造性、知识面、表达力、外语等5 个准则相比并不太重要，因此我们现在主要对这5 个因素分配,合理的权重，而权重的计算一般用Saaty 提出的AHP 法。（2）、具体计算权重的AHP 法。AHP 法是将各
10、要素配对比较，根据各要素的相对重要程度进行判断，再根据计算成对比较矩阵的特征值获得权重向量Wk。,Step1. 构造成对比较矩阵假设比较某一层k个因素C1， C 2， Cik ， C k 对上一层因素o的影响，每次两个因素Ci和C j，用Cij表示Ci和C j对o的影响之比，全部比较结果构成成对比较矩阵C，也叫正互反矩阵。C = (Cij )k*k Cij 0,Cij = 1/ C jiStep2.计算该矩阵的权重通过解正互反矩阵的特征值,，可求得相应的特征向量，经归一化后即为权重向量Qk = q1k , q2k ,., qkk ，其中的qik就是Ci对o的相对权重。Step3. 一致性检验为
11、了度量判断的可靠程度，可计算此时的一致性度量指标CI ，CI 越小，说明权重的可靠性越高。,当CR 0.1,（CR称为一致性比率，RI 是通过大量数据测出来的随机一致性指标，可查表找到）可认为判断是满意的，此时的正互反矩阵称之为一致性矩阵。进入Step4. 否则说明矛盾，应重新修正该正互反矩阵。转入Step2.Step4. 得到最终权值向量将该一致性矩阵任一列或任一行向量归一化就得到所需的权重向量。,（3）、将计算出来的方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重，也即不同学生在排名上的最终权重。这样一来，我们就可以按权重大小进行学生录取工作了。假设第一层（
12、目标层）只有一个元素，第二层（规则层）有p 个元素，第三层（方案层）有q 个元素。假设通过第二层对第一层的正互反矩阵计算得到第二层对第一层的权向量二层对第一层的权向量为W 2 R p，同样方法构造第三层对,第二层的每一项的正互反矩阵，将得到p个q * q的矩阵，求解得到p个权向量W R3Rq,r = 1,2,., 3 ，将这p个向量排成一个矩阵QRq*p，则Q *W 2为一个q维的列向量，其中的第i个元素就代表方案i 对目标的权重，三层以上的情况可以类似得到。,（二）、用0-1 规划模型进行学生和导师之间的双向选择。基于上述论述，由于双向选择需要考虑学生对老师满意程度和老师对学生满意程度的加权
13、和，而学生对老师的满意度又需要考虑对老师专业方向、学术水平及对学生的期望要求三方面因素满意度的加权和，等等。故各类因素间的权值定量就显得非常重要了。,基于Saaty 提出的AHP 法，我们可以对三个以上因素之间的权值进行计算，即对它们之间的正互反矩阵进行“一致性检验修正”，保证最终计算出来的权值更加合理，客观。而对两个因素之间的权值分配，由于1，2 阶的正互反矩阵总是一致阵，故权值分配就比较随意，取决于我们对两个因素影响度大小的主观判断。,在把学生对老师满意度值SSTij 和老师对学生满意度值STSij 加权计算出来后，把两者再加权即可得到目标矩阵S 中的元素Sij 。设：xij=0,不安排学
14、生与导师配对;1当安排学生与导师配对.则双向选择优化问题的目标函数及约束条件为：,求解方法有很多，可以用带权二部图最大匹配算法，可以用匈牙利算法，也可以用规划中的隐枚举法。考虑到算法的复杂度和编程难易度，我们最终选择使用线性规划软件Lindo 来对该种问题进行求解。五.模型的实现及求解,问题1、从十五名学生中录取十名，并与导师配对（一个导师可以带多名学生）第一步： 结合层次分析法和集对分析法进行学生录取在只考虑学生的初试成绩和复试因素情况下，可以确定十名研究生的录取名单单：这首先需要把八个不同专家的意见表融合成一张表，由于八个专家对学生的成绩影响因素相同，因此直接利用层次分析法中的AHP 法效
15、果会比较随机，因此,我们选择采用集对分析法得到初始权值和相应的正互反矩阵，再用AHP 法对其进行修正，按照最终的权值计算学生每个指标的成绩。集对分析的基本思路是:在一定问题背景下,对一个集对所具有的特性展开分析, 建立起所论两个集合在指定问题背景下的同异反联系度表达式:u = a + b n + cm ,式中u为联系度或联系数, a为同一度,b为差异度, n为差异度系数, c为对立度, m为对立度系数,且a + b + c =1。在我们这个问题中，我们把学生某项面试内容的评分档次（ A 、B 、C 、D ）视为满意度的4 个档次，持这些态度的专家占专家总数的百分比分别为 A、 B、 C 、 D
16、，n、m、l、h分别是 A、 B、 C 、 D的系数，其中 A + B + C + D =1。以联以联系度u为变量构造,该指标的加权后成绩为: sk = uk = ak n + bkm + ck l + dk h n,m,l, h1,1此时，若 A最大，则有n = 0.4 m = 0.3 l = 0.2 h = 0.1 ，若 B最大，则有n = 0.25 m = 0.35 l = 0.25 h = 0.15，若 C 最大，则有n = 0.15 m = 0.25 l = 0.35 h = 0.25，,若 D最大，则有n = 0.1 m = 0.2 l = 0.3 h = 0.4，即:由此sk便可估算出每个学生在复试中各项素质的档次情况表。有了这张表后，我们把相对分A、B、C、D量化为具体的数字，对应法则是A = 95、B = 85、C = 75、D = 65 ,将之与初试成绩进行加权求和，从而按照分数从高到低取前十名即可。,
