《01第一节二次型及其矩阵》由会员分享，可在线阅读，更多相关《01第一节二次型及其矩阵（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章 二次型在解析几何中，为了便于研究二次曲线122cybxa的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换ossiniy把方程化为标准形式.12cxm这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论 个变量的二次多项式的化简问题.n第一节 二次型及其矩阵分布图示 二次型的定义 例 1 二次型的矩阵形式 例 2 例 3 例 4 例 5 线性变换 例 6 矩阵的合同 内容小结 习题 5-1内容要点一、二次型的概念定义 1 含有 个变量 的二次齐次函数nnx,21 nnnxaaf 1,232122)( 称为二次型. 当 为复数时， 称为复二次型；当 为实数时， 称为实
2、二次型.在本章ijaf ijf中只讨论实二次型.只含有平方项的二次型 称为二次型的标准型(或法式).221nykykf二、二次型的矩阵取 ,则 于是ijjia,2ijjiji xaxnjiji nnnnxaxaxf1, 2221211),( )()(21221211nnnnxaxax .),(),( 21211221 21121AXxaaxxaxaT nnnnnn 其中 .nnn aaxX 2121221,称 为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵 称为该二次型的矩阵.二次型 称AfT)( Af为实对称矩阵 的二次型. 实对称矩阵 的秩称为二次型的秩. 于是，二次型 与其实对Af称矩阵 之间有一
3、一对应关系.三、矩阵的合同定义 3 设 A,B 为两个 n 阶方矩阵,如果存在 n 阶非奇异矩阵 C,使得 则称矩,BAT阵 A 合同于矩阵 B,或 A 与 B 合同,记为 .BA易见, 二次型 的矩阵 A 与经过非退化线性变换 得到的XxfT)(21 YX二次型的矩阵 是合同的.CT矩阵的合同关系基本性质:(1) 反身性 对任意方阵 ;)(;, ET因 为(2) 对称性 若 则BA(3) 传递性 若 则,.CA例题选讲例 1 (1) 是一个含有 2 个变量的实二次型 .223),(yxyxf(2) 是一个含有 3 个变量的实二次型.54zyzz (3) 是一个含有 4 变量的实二次型.321
4、4321, xf(4) 是一个含有 4 个变量的实二次型.21)(xx(5) 不是一个实二次型, 因为它含有一次项 及常数项 1.5,yyf x5(6) 不是一个实二次型, 因为它含有 3 次项321321 .1(7) 不是一个实二次型, 因为 是虚数, 但它是一个复二次型.)(),(ixf i例 2 写出下列实二次型相应的对称阵.(1) 其矩阵为,233),(22 yxxyyf .12/3(2) 22 543),( zyxzyxzyf 25zyxz相应的实对称阵为 .52/1/(3) 相应的实对称阵是一个对角阵:,),( 24314321 xxxf .10(4) 相应的对称阵为4231243
5、21 4),( xxxf .02/3/例 3 设有实对称矩阵 求 对应的实二次型.,2/10/AA解 是三阶阵，故有 3 个变量，则实二次型为A),(),(321321xxf321/10/0x.2321xx例 4 (E01) 二次型 的矩阵是32312xx;0/A反之, 对称矩阵 所对应的二次型是2/3/1/10 .320/2/3/),( 3121 xxxxAxT 例 5 (E02) 求二次型 的秩.2331212321 64),(xf 解 先求二次型的矩阵. 213121321),(xxf 231300xx所以 对 作初等变换A,6012A520117052即 所以二次型的秩为 3.,3)(Ar例 6 设二次型 , 且 32312321 04),( xxxf (1).,531y求经过上述线性变换后新的二次型.解 因 相对应的矩阵)(321xf A.0521而变换(1)所决定的变换矩阵 C,10AT 10255215.20于是新的二次型为 .0231yy
