《2007年北京市中学生数学竞赛高一真题及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2007年北京市中学生数学竞赛高一真题及答案（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1YXO(A)YXO(B)YX(C)OYX(D)OBAM O NP2007年北京市中学生数学竞赛高一年级试卷 2007年5月26日8:30-10:30一. 选择题: (满分25分,每小题5分)1. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数, 则f(sin 2 )+f(sin)+f(sin 23 )= ( )(A) -0.5 (B) 0 (C) 0.5 (D) 12. 函数y=|k1x+b1|+|k2x+b2|-|k3x+b3|(其中k1,k2 ,k3为正常数, b1,b2 ,b3均为非0常数)的图象可能是( )3. 若O是三角形ABC内一点,满足|OA|2+| BC |2=|OB|2+|CA|2=
2、|OC |2+| AB|2. 则点O是ABC的( )(A) 垂心 (B) 内心 (C) 重心 (D) 外心4. 若f(x)=(k-1)x2+2kx+2007是在R上的偶函数, 则在(-,2007)上 ( )(A) f(x)是增函数 (B) f(x) 是减函数 (C) f(x)先减后增 (D) f(x)先增后减5. 在三角形ABC中, 如果abcosC+bccosA+cacosB=c2, 其中a、b、c 表示三角形的边,A、B、C分别表示它们的对角, 则三角形ABC的面积为: ( )(A) ab21 (B) bC21 (C) ca21 (D) )(21 222 cba 二. 填空题(满分35分,
3、 每小题7分)6. 已知a1,b1, c1, 则logab+2logbc+4logca的最小值是: .7.(如图),MN是半圆O的直径,A是半圆的一个三等分点,B是弧AB的中点, P是直径MN上的点, 若AP+PB的最小值等于2 2 cm, 则半圆O的面积是 cm2 .8. 一个等差数列的首项为非0的实数a, 且对每个整数n, 数列的前n项和都等于an2. 则这个数列的公差等于 .9. 将一副学生三角板如图所示恰拼为一个四边形ABCD(其中CBD=CDB=45,BAD=2BDA=60),设对角线AC与边CB所成的角记为 , 则tan= . B C DA2BDCEFPQA10.在一张平面上画了2
4、007条互不重合的直线l1 ,l2, l2007 , 始终遵循垂直、平行交替的规则进行:l1 l2, l2 /l3, l3l4, l4/l5, 这2007条互不重合的直线共有 个交点.三.(满分15分) 已知:一次函数f(x)=ax+b 对任意的x ,y0,1都满足: |f (x)+f (y)-xy|41,试确定这样的f(x).四.(满分10分)圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P,另一组对边AD、BC的延长线交于点Q, 自P、Q分别作圆的切线PE、QF, 其中E、F是切点, 连接PQ.求证: 以线段PE、QF、PQ为边构成的三角形是直角三角形.五. (满分15分)已知:
5、实数序列x0,x1,x2,xn, 的构成规律由递推关系给出: x0=5 , xn=xn-1+ 11nx (nN*)求证: 45x02+2n=25+2000=2025=452 45 x02+20 211x x12+2 (x02+ 2) +2= x02+ 4 221x 4120 x 易证得: 21nx nx 2120 xn2= x02+ 201x + 211x + 2 21nx + 2 11nx +2n x02+2n+( 201x + 2120 x + 4120 x + 22120 nx ）x100022025+( 251 + 271 + 291 +20231 )2025+(251 +491 )+(501 +991 )+(1001 +1991 )+(2001 +3991 )+(4001 +7991 )+(8001 +15991 )+(16001 +31991 )=2025+25 251 +50 501 +1001001 +200 2001 +400 4001 +800 8001 +160016001=2025+7=2032=2034.1=45.12 x100045.1综上: 45x100045.1
