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1、第 1 页北师大版初三数学上册知识点汇总第一章 证明 (二 ) 等腰三角形的“三线合一” ：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等边三角形是特殊的等腰三角形， 作一条等边三角形的三线合一线， 将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于 30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。有一个角等于 60o的等腰三角形是等边三角形。如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：勾股定理： 222 cba （注意区分斜边与直角边）在直角三角形中，如有一个内角等于 30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现）垂直平分线
2、是垂直于一条线段 并且平分这条线段的直线 。 （注意着重号的意义）线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形的三边的垂直平分线交于一点， 并且这个点到三个顶点的距离相等。 （如图 1 所示，AO=BO=CO ）角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。(如图 2 所示， OD=OE=OF) 第二章 一元二次方程只含有一
3、个未知数的整式方程，且都可以化为 02 cbxax （ a、 b、 c 为常数， a 0）的形式，这样的方程叫一元二次方程 。把 02 cbxax （ a、 b、 c 为常数， a 0）称为一元二次方程的一般形式， a 为二次项系数； b 为一次项系数； c 为常数项。解一元二次方程的方法：配方法 公式法aacbbx242 （注意在找 abc 时须先把方程化为一般形式）分解因式法 把方程的一边变成 0， 另一边变成两个一次因式的乘积来求解。A C B O 图 1 图 2 O A C B D E F 第 2 页（主要包括“提公因式”和“十字相乘” ）配方法解一元二次方程的基本步骤：把方程化成一元
4、二次方程的一般形式；将二次项系数化成 1；把常数项移到方程的右边；两边加上一次项系数的一半的平方；把方程转化成 0)( 2mx 的形式；两边开方求其根。根与系数的关系：当 b2-4ac0 时，方程有两个不等的实数根；当 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；当 b2-4ac。 （通常第二种方法更适用）反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线反比例函数的画法的注意事项： 反比例函数的图象不是直线， 所 “两点法” 是不能画的；选取的点越多画的图越准确；画图注意其美观性（对称性、延伸特征） 。反比例函数性质：当 k0 时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内， y 随 x 的增大
5、而减小；当 k0）或向左（ h0）或向下（ k0，则当 x ab2 时， y随 x 的增大而增大。 若 aab2 时， y随 x 的增大而减小。 最值：若 a0，则当 x=ab2 时， abacy44 2最小 ；若 a0 抛物线与 x 轴有 2 个交点；acb 42 =0 抛物线与 x 轴有 1 个交点；acb 42 抛物线与 x 轴有 0 个交点（无交点）；当 acb 42 0 时，设抛物线与 x 轴的两个交点为 A、 B，则这两个点之间的距离：212212122 4)()(| 1 xxxxxxxxAB化简后即为： )04(| 4| 22acba acbAB - 这就是抛物线与 x 轴的两交
6、点之间的距离公式。第三章 圆一 . 车轮为什么做成圆形 1. 圆的定义：描述性定义： 在一个平面内， 线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周， 另一个端点 A 随之旋转所形成的圆形叫做圆 ；固定的端点 O 叫做圆心 ；线段 OA 叫做半径 ；以点 O 为圆心的圆，记作 O，读作“圆 O”第 12 页集合性定义： 圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。 其中定点叫做圆 心 ，定长叫做圆的半径 ，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆 。对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。 2. 点与圆的位置关系及
7、其数量特征：如果圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则点在圆上 d=r; 点在圆内 d dr. 其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。二 . 圆的对称性 : 1. 与圆相关的概念：弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦 。直径：经过圆心的弦叫做直径 。弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧 ，简称弧 ，用符号“”表示，以 CD 为端点的弧记为“ ” ，读作“圆弧 CD ”或“弧 CD” 。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆 。优弧：大于半圆的弧叫做优弧 。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧 。 (为了区
8、别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。 ) 弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形 。同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆 。等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 . 弦心距 :从圆心到弦的距离叫做弦心距 . 2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：过圆心； 垂直于弦
9、； 平分弦； 平分弦所对的优弧； 平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。 4. 定理：在同圆或等圆中 ,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论 : 在同圆或等圆中 ,如果两个圆心角、 两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等 ,那么它们所对应的其余各组量都分别相等 . 第 13 页三 . 圆周角和圆心角的关系 : 1. 1的弧的概念 : 把顶点在圆心的周角等分成 360 份时 , 每一份的角都是 1的圆心角 , 相应的整个圆也被等分成 360 份 , 每一份同样的弧叫 1弧 . 2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等 . 这里指的是
10、角度数与弧的度数相等 ,而不是角与弧相等 .即不能写成AOB= ,这是错误的 . 3. 圆周角的定义 : 顶点在圆上 ,并且两边都与圆相交的角 ,叫做圆周角 . 4. 圆周角定理 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 . 推论 1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；推论 2: 半圆或直径所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径；四 . 确定圆的条件 : 1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件 : 圆心和半径 ,圆心决定圆的位置 ,半径决定圆的大小 . 经过一点可以作无数个圆 ,经过两点也可以作无数个圆 ,其圆心在这个两点线段的垂直平
11、分线上 . 2. 经过三点作圆要分两种情况 : (1) 经过同一直线上的三点不能作圆 . (2)经过不在同一直线上的三点 ,能且仅能作一个圆 . 定理 : 不在同一直线上的三个点确定一个圆 . 3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念 : (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形 : 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆 ,这个三角形叫做圆的内接三角形 . (2)三角形的外心 : 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心 . (3)三角形的外心的性质 :三角形外心到三顶点的距离相等 . 五 . 直线与圆的位置关系 1. 直线和圆相交、相切相离的定义 : (1)相交 : 直
12、线与圆有两个公共点时 ,叫做直线和圆相交 ,这时直线叫做圆的割线 . (2)相切 : 直线和圆有惟一公共点时 ,叫做直线和圆相切 ,这时直线叫做圆的切线 ,惟一的公共点做切点 . (3)相离 : 直线和圆没有公共点时 ,叫做直线和圆相离 . 2. 直线与圆的位置关系的数量特征 : 设 O 的半径为 r，圆心 O 到直线的距离为 d； d 直线 L 和 O 相交 . d=r 直线 L 和 O 相切 . dr 直线 L 和 O 相离 . 3. 切线的总判定定理 : 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线 . 4. 切线的性质定理 : 圆的切线垂直于过切点的半径 . 推论 1 经过圆心且
13、垂直于切线的直线必经过切点 . 第 14 页推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 . 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系 ,可得如下结论 : 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个 ,就可推出第三个 . 垂直于切线 ; 过切点 ; 过圆心 . 5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念 . 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 ,内切圆的圆心叫做三角形的内心 , 这个三角形叫做圆的外切三角形 . 6. 三角形内心的性质 : (1)三角形的内心到三边的距离相等 . (2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 . 由此性质引出一条重要的辅助线 : 连接内心和三角形
14、的顶点 ,该线平分三角形的这个内角 . 六 . 圆和圆的位置关系 . 1. 外离、外切、相交、内切、内含 (包括同心圆 )这五种位置关系的定义 . (1)外离 : 两个圆没有公共点 ,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时 ,叫做这两个圆外离 . (2)外切 : 两个圆有惟一的公共点 ,并且除了这个公共点以外 ,每个圆上的点都在另一个圆的外部时 , 叫做这两个圆外切 .这个惟一的公共点叫做切点 . (3)相交 : 两个圆有两个公共点 ,此时叫做这个两个圆相交 . (4)内切 : 两个圆有惟一的公共点 ,并且除了这个公共点以外 ,一个圆上的都在另一个圆的内部时 ,叫做这两个圆内切 .这个惟一的公共
15、点叫做切点 . (5)内含 : 两个圆没有公共点 , 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时 ,叫做这两个圆内含 .两圆同心是两圆内的一个特例 . 2. 两圆位置关系的性质与判定 : (1)两圆外离 dR+r (2)两圆外切 d=R+r (3)两圆相交 R-r d=R-r (Rr) (5)两圆内含 dr) 3. 相切两圆的性质 : 如果两个圆相切 ,那么切点一定在连心线上 . 4. 相交两圆的性质 : 相交两圆的连心线垂直平分公共弦 . 七 . 弧长及扇形的面积 1. 圆周长公式 : 圆周长 C=2 R (R 表示圆的半径 ) 2. 弧长公式 : 弧长180Rnl (R 表示圆的半径 , n 表示弧所对的圆心角的度数 ) 3. 扇形定义 : 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形 . 4. 弓形定义 : 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 . 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高 . 5. 圆的面积公式 . 第 15 页图 5 OBCACBAOCBA O圆的面积 2RS (R 表示圆的半径 ) 6. 扇形的面积公式 : 扇形的面积3602RnS扇形 (R 表示圆的半径 , n 表示弧所对的圆心角的度数 ) 弓形的面
