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1、轴对称单元检测 提高篇 第 1 页 ，共 43 页 一、 等腰三角形 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角 等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，两条腰相等 等腰三角形的判定： 1 如果一个三角形有两个角相等，那么着两个角所对的边也相等 2 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形 等腰三角形的三线合一： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 证明： ABC 是等腰三角形， AB AC ，作底边 BC 的高 AD ， 由等腰三角形是轴对称图形，底
2、边上的高 AD 是 ABC 的对称轴可知， 对称轴左右两边的三角形完全相等，即 ABD ACD ，得 BAD CAD ， BD CD 等腰三角形三线合一及其逆定理： 一个三角形如果一条边上的中线，高线以及这条边所对角的平分线有两条互相重合，则这个三角形是等腰三角形 角平分线遇平行线产生等腰三角形，分 a， b 两种情况： 底边腰 腰底角底角顶角D CBA轴对称单元检测 提高篇 知识点 轴对称单元检测 提高篇 第 2 页 ，共 43 页 a如图甲：一直线与角的一边平行 32 1312G D O A D O D C ，即 DOC 为等腰三角形 b如图乙：一直线与角的平分线平行 13342412D
3、E O C O D O E ，即 ODE 为等腰三角形 等腰三角形遇角平分线产生平行线 a 如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行 13 2312C O D C C D O A b 如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行 1334 2 133 4 112A O BO D O EO C D EA O BA O B 等腰三角形遇平行线产生角平分线 a 如图甲：与一腰平行 32 1231O A D CC O D C b 如图乙：与底边平行 34121324O D O ED E O C 角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或者作其二，寻找发现其三这种解题思
4、路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能 等腰三角形因为有两条边相等，两个角相等，天然具备证明三角形全等的一些条件，再结合等腰三角形三线合一及其逆定理，使得等腰三角形与全等三角形的综合问题经常作为各种考试中的重难点题目来考察另外轴对称的两个图形是全等的，同时我们也可以利用轴对称 主动翻折来构造全等三角形，这也是考试中的一个难点 图甲 4 3 2 O D E C B A 1 图乙 轴对称单元检测 提高篇 第 3 页 ，共 43 页 二、 等边三角形不等腰直角三角形 等边三角形的概念 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形等边三角形是一种特殊的
5、等腰三角形 等边三角形的性质 等边三角形是一种特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质 性质 1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60 证明：在 ABC 中， AB AC ， AB CB ，则 A B C ，而 180A B C ，则60A B C 等边三角形的判定 判定 1：如果一个三角形的三个角都相等，那么它是等边三角形 证明：在 ABC 中， A B C ，则 AC BC ， AB BC ，所以 AB AC BC 判定 2：有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 直角三角形性质定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 证明：
6、90ACB ， 30A ，延长 BC 至 B 使 CB CB ，则有 AC 垂直平分 BB ，所以 AB AB ，因为 60B ，所以 ABB 是等边三角形， 所以 2AB BB BC，即 12BC AB 等腰直角三角形：有一个角是直角的等腰三角形或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形 等腰直角三角形的性质： 1 两条直角边相等，两底角相等，且都等于 45 2 斜边上的中线，高线，顶角的平分线三线合一，且长度等于斜边长的一半 等腰直角三角形的判定： 1 定义：有一个角是直角的等腰三角形或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形 2 底角为 45的等腰三角形是等腰直角三角形 3 有一个角是 45
7、的直角三角形是等腰直角三角形 4 三边长比例为 1:1: 2 的三角形是等腰直角三角形 等边三角形与全等三角形综合问题 主要分两种类型：一是以等边三角形为载体来考察全等三角形的综合问题，二是利用全等三角形的性质和判定证明三角形是等边三角形不管是哪种类型都要注意 60角和边的等量关系的应用，尤其是后面学习旋转之后，会出现一些比较难的等边三角形和全等三角形结合的问题 等腰直角三角形与全等三角形综合问题 在各种考试中都有出现，是一个高频考点，同时也经常作为几何压轴题来考察，所以有些题的难度还是比较大的。此类问题主要是通过等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定来求解线段长度，角度问题和线段
8、之间的数量关系问题，角度之间 的数量关系问题辅助线的作法主要是依托等腰直角三角形的顶点或者斜边中点来构造全等三角形 三、 将军饮马问题 轴对称单元检测 提高篇 第 4 页 ，共 43 页 “将军饮马” 这个问题早在古罗马时代就有了，传说 古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦 有一天，有位罗马将军前来向他求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从 A 地出发到河边饮马，然后再到 B 地军营视察，显然有很多走法。问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思考，便作了完善的回答 这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题广为流传 事实上，不仅将军有这样的 烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们
9、每天走路都要遇到这样的问题 古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤 枉路我们把这类求近道的问题统称“最短路线问题”另外，从某种意义上说，一笔画问题也属于这类问题 看来最短路线问题在生产、科研和日常生活中确实重要且应用广 泛 这个问题在我们中考中也是常考的热点问题，因 此，我们要掌握其分析解决的方法。下面我就几个例题来具体分析解决 唐朝诗人李欣的诗古从军行开头两句说：“ 白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着的也是这个数学问题 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的 A 点出发，走到河边饮马后再到 B 点宿营请问怎样走才能使总的路程最短？ 如图所示，从 A 出发
10、向河岸引垂线，垂足为 D ，在 AD 的延长线上，取 A 关于河岸的对称点A ，连结 AB，与河岸线相交于点 C ，则 C 点就是饮马的地方，将军只要从 A 出发，沿直线走到 C ，饮马之后，再由 C 沿直线走到营地 B ，所走的路程就是最短的 河流 轴对称单元检测 提高篇 第 5 页 ，共 43 页 将军饮马问题六大模型： 1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A 、 B ，在直线 l 上求作一点 P ，使 PA PB 最小 2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A 、 B ，在直线 l 上求作一点 P ，使 PA PB 最小 3 如图，点 P 是 MON 内的一点，分别在 OM ， O
11、N 上作点 A ， B ， 使 PAB 的周长最小 4 如图，点 P ， Q 为 MON 内的两点，分别在 OM ， ON 上作点 A ， B ， 使四边形 PAQB的周长最小 轴对称单元检测 提高篇 第 6 页 ，共 43 页 5 如图，点 A 是 MON 外的一点，在射线 OM 上作点 P ，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小 6 如图，点 A 是 MON 内的一点，在射线 OM 上作点 P ，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小 四、 造桥选址问题 如图 ， A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN ，桥造在何处才能使从 A到 B 的路径 AMN
12、B 最短？（ 假设河两岸 1l 、 2l 平行 ,桥 MN 与河岸垂直 ） 轴对称单元检测 提高篇 第 7 页 ，共 43 页 五、 轴对称 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形这条直线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称 两个图形轴对称： 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点 垂直平分线：经过线段中点并且垂直与这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 轴对称图形 、图形成轴对称 的性质 1. 轴对称图
13、形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 2. 成轴对称的两个图形全等轴对称图形沿对称轴分成的两个图形全等 3. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 4. 对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段 六、 线段的垂直平分线 垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 垂直平分线的性质 ： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 垂直平分线的判定：在同一平面内，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上 垂直平分线的作法： (1) 分别以 A 、 B 为圆心，以大于 12AB的长为半
14、径作弧，两弧相交于 C 、 D 两点； (2) 作直线 CD 即为线段 AB 的垂直平分线 DCA BA B C M N 轴对称单元检测 提高篇 第 8 页 ，共 43 页 一、 单选题 1、 （ 2015 中考石景山二模）等腰三角形一个角的度数为 50 ， 则顶角的度数为（ ） A 50 B 80 C 65 D 50 或 80 【答案】 D 【解析】 分析可得，已知角可能为顶角或底角，故顶角度数为 50 或 80 2、 (2013 初二上期中人民大学附属中学 )如图，平面直角坐标系中， O 为坐标原点， A 为第一象限内一点，线段 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 30 度，点 B 在坐标轴上，且使得 AOB 为等腰三角形，则这样的点 B 有 ( ) A 4 个 B 5 个 C 6 个 D 7 个 【答案】 C 【
