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1、如何表示的算术平方根：七年级学生的创新设计施慧慧（上海市延安初级中学）汪晓勤（华东师范大学数学系）我们今天耳熟能详的任何一个数学符号都是历史上数学家的创造 ，且都是在经过长期的优胜劣汰之后被人们所普遍采用的数学符号的历史可以让学生认识数学和数学活动的本质让学生自己动手创造数学符号 ，则是积累数学活动经验的一种途径实践证明 ，如果教师在课堂上能够将学生所创造的符号与历史上数学家曾经创造过 、但今日可能已被淘汰的符号进行比较 ，让学生感受到两者的相似性 ，那么学生与数学的心理距离将得以拉近 ，学生的自信心将得到提升 ，学生对数学活动将会有更深刻的认识那么 ，为了表示的算术平方根 ，七年级学生能创造
2、出哪些数学符号 ？ 这些符号是否具有历史相似性 ？ 从中可以看出学生的理解现状如何 ？ 他们对于数学符号特征又有怎样的认识 ？ 为了回答上述问题 ，我们对上海某初级中学七年级个班级共名学生进行了测试测试题为 ：“我们已经知道 ，面积为的正方形的边长用符号槡来表示请你也来构造一个新的符号 ，用以表示面积为的正方形的边长 ，并简单说明构造的理由”所有学生在学校里都刚学过第一个无理数槡学生设计的符号在总共名学生中 ，人 （占）为“的算术平方根 ”设计了符号 ，其中合理的符号可以分为几何图形 、借鉴 、运算 、指数 、字母 、艺术 、其他共七类图给出了具体的分布情况图 学生创造的根号类型分布几何图形类
3、（）面积为的正方形边长人 （占）采用几何图形符号来表示槡其中 ，最普遍的符号是 “内含数字的正方形 ”，表示 “方二之面 ”；一些学生在正方形某一边的外侧添一个大括号或一条线段 ，或将某条边加粗 ，或在某一条边上划两根短杠 ，以强调所设计的符号表示正方形的 “边长 ”，如图所示图 几何图形符号之一有的学生将正方形的一条边画成虚线 、三条边画成实线 ，虚线表示槡；或将三条边画成虚线 、一条边画成实线 ，实线表示槡；或将一条边两端或一端延长 ，如图所示图 几何图形符号之二部分学生在正方形下方标，而在正方形的一条边上标一个箭头 ，或在正方形的右边标或标带括号的，或在正方形的左侧或上侧标上字母，如图所
4、示图 几何图形符号之三还有学生用正方形的一部分 （三边 、两边或一边 ）与数字组合起来表示 “面积为的正方形的边长 ”，这类符号更加简洁 ，如图所示图 几何图形符号之四年第期中学数学月刊上海市教育研究项目 “培养六 、七年级学生数感的数学教学活动研究 ”（批准号 ：）研究成果之一（）其他几何图形部分学生用单位正方形的对角线或直角边为的等腰直角三角形的斜边来表示槡还有少数学生用内含数字的圆来表示槡个别学生用内含数字的三角形或内含的两条平行线来表示槡如图所示图 几何图形符号之五借鉴类人 （占）在设计符号时直接利用或借鉴了今天通用的根号 “槡”较多的学生将该符号施以反射变换 ，得到新符号 ；或者将反
5、射后的符号与原来的符号组合成对称的新符号还有学生将 “槡”做了部分改动 ，如图所示图 借鉴类符号运算类人 （占）从运算的角度来设计槡的新符号 ，其中又分成几种情形一是利用方程 ，设边长为，则得方程，或二是展示运算过程 ，如符号 “ ”“ ”“”“”等后两个例子中 ，后面加两点或两边各加一点 ，表示两个同样的数相乘等于三是体现开方是乘方的逆运算 ，如符号 “”，在乘号 （表示乘方 ）之下添一负号 “”，表示逆运算 ；或因为表示的二次方 ，所以将指数写在的右下角 、左下角或左上角 ，即得槡的新符号 ：，（）或；个别学生给出 正 确 的 分 数 指 数 幂，一 名 学 生 给 出（），已呈现分数指数
6、幂之萌芽还有学生想象将分解成两个相同的数的乘积 ，于是将“切成两半 ”，创造了符号 “”和 “”一位学生用来表示 “先减，再开方 ”的运算 ，于是 ，符号 “”就表示槡了当然 ，也有学生采用运算结果等于槡的表达式 ，如槡，槡，槡槡等字母类人 （占）利用字母来设计新符号比较典型的有 ：用表示正方形的边长 ，内含数字表示正方形的面积 ，于是得到符号 ；用表示正方形的面积 ，内含两个数字的符号 ；因为槡与一样是无理数 ，故用希腊字母与数字的组合来表示它 ，得到符号 ；“平方根 ”的英文为，取其首字母 ，即得符号；“根 ”的英文为，取其首字母 ，即得符号；取 “根号 ”二字的汉语拼音首字母，得到符号；
7、取 “边 ”的汉语拼音首字母，得到新符号；取 “正方 ”二字的汉语拼音首字母，得到新符号 ；由 “边长 ”联想到英文 “”，取首字母是，得到新符号艺术类人 （）的学生从美观的角度来设计符号典型的有蝴蝶结 、笑脸 、五角星 、太阳等 ，如图所示图 艺术类符号其他有人 （占）设计的符号并不属于上述各类型 ，但大多十分简洁 ，如，！ ，等此外 ，的学生给出错误 的 表 示 方 式如 ，一位学生构造了一个大于且小于的无理数，以此表示槡，显然是错误的还有几位学生各用槡，槡， 槡 ，槡，槡，（ ），等来表示槡，都是错误或不合理的不过 ，“”这一符号似乎已呈现出分数指数幂的萌芽了若干评论历史相似性槡的几何意
8、义是 “面积为的正方形的边长 ”，沪教版七年级数学教科书中以此引入槡由于学生初次接触槡，对于无理数还没有深刻的认中学数学月刊年第期识 ，因此我们将问题表述为 “请你创造一个新的符号来表示面积为的正方形的边长 ”，而不是 “创造一个新的符号来表示的算术平方根 ”受课本 、课堂教学以及问题表述方式的影响 ，设计几何图形符号的学生比例是最高的从历史上看 ，正方形先后被世纪法国和意大利数学家用来表示未知数的立方和平方 ，世纪 ，对数发明者 、英国数学家纳皮尔 （，）曾用 “ ”表示平方根 ，用正方形表示五次方根 ，但他的符号似乎并非源于几何意义因此 ，学生的几何图形符号并不具备明显的历史相似性位居第二
9、的借鉴类符号源于今天的通用符号 ，并没有多少创新性在运算类符号中 ，在前面加点来表示平方根 ，重复了历史上德国数学家的做法 ，世纪德国数学手稿中提及这种符号而用上标或下标来表示平方根 ，则已经有了分数指数幂的萌芽 ，是非常有创意的历史上数学家创造的根号主要源于文字的缩写数学上 ，“根 ”这个词源于阿拉伯 ，传入欧洲后 ，“根 ”被译为拉丁文 “”，于是 ，它的首字母或就被世纪数学家用来表示平方根按照欧拉的说法 ，世纪德国数学家鲁道夫 （，）创用的符号 “”就是源于字母，是的变形 （上方的横线是后来笛卡儿加上去的 ，便于表示复杂的根式 ）法国数学家拉缪斯 （，）则用拉丁文“边 ”（）的首字母 “
10、”来表示平方根因此 ，学生创用的字母类符号最具历史相似性学生对槡的接受程度本次调查是在学生初识槡后实施的从学生创造的符号 ，特别是几何图形符号以及运算符号来看 ，他们对槡的接受程度是相当好的 ，相当多学生能给出清晰的几何表征我们知道 ，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正方形对角线与边长之比时发现不可公度量的存在性也就是说 ，无理数的发现源于几何情境教材和课堂教学从几何情境出发引入无理数符合历史规律 ，也易于创造学生学习新数的动机槡因此也易于为学生所理解数学符号史在教学中的缺失虽然学生创造的字母符号具有历史相似性 ，但这类符号所占的比例很低究其原因 ，学生对根号 “槡”的起源一无所知 ，大多数学生并不
11、知道 ，可以从文字缩写的角度来设计平方根的符号 ，而这又源于课堂上符号史知识的缺失虽 然“槡”是一个全新的符号 ，但教师不加任何解释地使用它 ，就像使用 “，”等符号一样学生对数学符号特征的片面认识直观 、简洁 、贴切 、普适 ，是数学符号的重要特征虽然学生几乎每天都会接触到各种数学符号 ，但从他们所创造的大多数符号来看 ，他们对于数学符号特征的认识是片面的多数几何图形符号和部分运算符号都很直观 ，而多数艺术类符号都很美观 ，但它们都不够简洁 ，书写不够方便 ，且其中的大多数并不具备普适性 ，不能适用于其他数字的平方根或根式借鉴类符号中 ，多数属于 “画蛇添足 ”，不如原来的符号简洁其他类符号
12、虽然大多很简洁 ，但不够贴切 ，因为它们与 “根 ”的含义没有必然的联系结语以上我们看到 ，关于的算术平方根 ，绝大多数学生能够创造出自己的新符号 ，这些符号可以分为几何图形类 、借鉴类 、运算类 、字母类 、艺术类等这些符号表明 ，学生对于槡这一全新的实数的接受程度是比较令人满意的 ，相当多学生对该数给出了十分清晰的几何表征 ；教材和教学在激发学生学习无理数的动机 、促进学生对无理数的理解方面是比较成功的少数学生设计的字母符号具有显著的历史相似性 ，但由于符号史在教学上的缺失 ，多数学生未能从文字缩写角度去创造根号绝大多数学生所设计的符号具有直观或美观的特点 ，但简洁性和普适性明显不足 ，反映了他们在数学符号认识上的片面性数学符号的历史是数学史不可分割的一部分将数学史融入无理数的教学 ，对初中数学教师来说并非什么新鲜事物 ，但绝大多数教师往往局限于西帕索斯发现无理数的故事让学生创造表示平方根的新符号 ，呈现历史上数学家创造的根号 ，让学生穿越时空与古人对话 ，必能更好地发挥数学史的教育价值参考文献王芳 ，刘智敏 不等号 ：从历史到课堂 中学数学月刊 ，（）：，：年第期中学数学月刊
