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1、矩阵和指标符号 MA 02139，剑桥 麻省理工学院 材料科学与工程系 David Roylance 2000 年 9 月 18 日 要描述 一个 矢量 ， 可列出它在 直角坐标系 zyx 、 轴中的各个 分量，例如 位移矢 量 U可以记作 ， 用 字母下标表示各个分量。 也可用数字下标 1、 2、 3 分别表 示zyxuuu 、 zyx 、方向，因而位移矢量同样也可写成 。 321uuu 、常见而 实用的速记方法是把位移矢量简写成 ， 这里的下标 是假定在范围 1、 2、 3 内变化的 指标 （在二维问题中， i就是 1、 2） 。这称 为指标符号的 范围规则 。应用这一规则，矢量式 分别表
2、示 3 个标量式： iu iaui=我们通常会发现： 把矢量的各分量竖向排列在括号内较为方便， 这种形式使我们更容易明了矩阵和矢量的乘法。于是我们有如下等价的矢量表示形式： 诸如应力、应变、惯性矩以及曲率等二阶量，都可以表示成 33 的矩阵。例如，应力可用数字指标写成 这里， 第一个下标表示行、 第二个下标表示列。 这里的下标也有物理意义， 例如23 表示在2面（该平面的法线沿着方向 2、或 方向）上作用的沿方向 3（或 方向）的应力。为便于区别，二阶张量用方括弧、矢量用花括弧。 y z应用指标符号的范围规则，应力也可写成ji ，这里 i和 j 的变化范围都是从 1到 3，这就给出了 9个分量
3、，清楚地如上所列。由于应力矩阵是对称的，即ijji = ， 9个分量中只有 6个是独立的。 对某指定项重复的下标表示对该重复下标的取值范围求和，这就是指标符号的 求和规则 。例如，为了表示应力矩阵中对角线上各元素之和，可写成： 矩阵的乘法规则正式的表述为： 设 A = 是）（jia ）（ NM 矩阵， B = 是 矩阵，仅当 时，矩阵的乘积 AB是）（jib ）（ PRNR = ）（ PM 的矩阵 C= ，由下式给出 ）（jic应用求和规则，上式可简写为 式中，求和是对重复的指标 进行的。对 3k 3矩阵乘以 31列矢量的情况，我们有 逗号规则 用 下标逗号 表 示对其后 的 变量求导 数 ，所以 yff =2,，jijixuu =,。例如， 表达式 0,=jji 用到了前面定义的所有三个指标规则： 对 i应用范围规则； 对 j 求和并求导数： 克罗内克 - 函数 是很有用的，它定义为 这是单位矩阵 I 的指标形式： 于是， 例如 式中，332211 +=kk。
