最新-考研数学143分笔记pdf版

资源描述

《最新-考研数学143分笔记pdf版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新-考研数学143分笔记pdf版（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1 高等数学高中公式三角函数公式和差角公式和差化积公式 sin( ) sin cos cos sincos( ) cos cos sin sin() 11()tg tgtgtg tgctg ctgctgctg ctg sin sin 2 sin cos22sin sin 2 cos sin22cos cos 2 cos cos22cos cos -2 sin sin22 积化和差公式倍角公式 1sin cos sin( ) sin( )21cos sin sin( ) sin( )21cos cos cos( ) cos( )21sin sin cos( ) cos( )2 2222

2、2222233322 ta nsin 2 2 sin c os1 ta nc os 2 2 c os 1 1 2 sin1 ta nc os sin1 ta n212 212sin 3 3 sin 4 sinc os 3 4 c os 3 c os3313tg ctgtg ctgtg ctgtg tgtgtg 半角公式 1 c os 1 c ossin c os2 2 2 21 c os 1 c os sin2 1 c os sin 1 c os1 c os 1 c os sin2 1 c os sin 1 c ostgctg 11V = S H V = S H V = H ( S + + S

3、 )33 SS 棱柱棱锥棱台球的表面积： 4R2 球的体积：343R椭圆面积： ab 椭球的体积： 43abc第 1 章极限与连续 1.1 集合、映射、函数空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界确界存在定理：凡有上 (下 )界的非空数集必有有限的上 (下 )确界。映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，因变量，基本初等函数 1.2 数列的极限性质： 1. （唯一性）收敛数列的极限必唯一。 2. （有界性）收敛数列必为有界数列。 3. （子列不变性）若数列收敛于 a，则其任何子

4、列也收敛于 a。注 1. 一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，仍不能保证原数列收敛。注 2. 若数列 xn有两个子列 xp,xq均收敛于 a，且这两个子列合起来就是原数列，则原数列也收敛于 a。注 3. 性质 3 提供了证明了某数列发散的方法，即用其逆否命题：若能从该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。 4. （对有限变动的不变性）若数列 xn收敛于 a，则改变 xn中的有限项所得到的新数列仍收敛于 a。 5. （保序性）若 lim ,limnnnnx a y b ，且 aN 时，有xnN 时， xnynzn，且 limnxn= limnzn=a, 则 limnyn=a。

5、 2.单调收敛原理：单调有界数列必收敛。注：任何有界的数列必存在收敛的子数列。 3.柯西收敛准则：数列 xn收敛的充要条件是：对于任意给定的正数，都存在正整数 N ，使得当 m， nN 时，有 |xm-xn|0, 0, x,x 0( , )oUx ,有 |f(x)-f(x)|0() f(x1)+(1-) f(x2), (0,1). 3. f(x0)()0. 若函数 f(x)在点 x0 处凹凸性相反，则点 x0 称为 f(x)的拐点。拐点的必要条件： f(x0)=0 或 f(x0)不存在。拐点的充要条件： f(x)经过时变号。渐近线： 1.垂直渐近线： x=a 是垂直渐近线

6、 0limxa或0limxa. 网友falwfnidtf上传分享3 2.斜渐近线： f(x)=ax+b, ()lim , lim ( ( ) )xxfxa b f x axx 或 ()lim , lim ( ( ) )xxfxa b f x axx （水平渐近线为其特例）。函数作图的步骤： 1. 确定函数的定义域； 2. 观察函数的某些特性，奇偶性，周期性等； 3. 判断函数是否有渐近线，如有，求出渐近线； 4. 确定函数的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，并列表； 5. 适当确定一些特殊点的函数值； 6. 根据上面提供的数据，作图。第 4 章积分 4.1 不定积分 4.1.1.基本

8、 si n a r c c os11a r c t a n a r c c ot1Cx dx x C x dx x Cx x dx x C x x dx x Cdx x C x Cxdx x C x Cx 或或22 222222 222222 2222 2 2 22 2 2 21 1 1a r c t a n a r c si n1 1 1l n | | l n | |21 1 1l n | | l n( )2a r c si n222xxdx C dx Ca x a a aaxaxdx C dx x x a Ca x a a x xaxadx C dx x x a Cx a a x a xa

9、x a xa x dx a x Caxx a dx x a 22222 2 2 2 2 22222ln2l n( )22c os ( c os si n )si n ( si n c os )axaxaxaxax x a Cxax a dx x a x x a Cee bx dx a bx b bx Cabee bx dx a bx b bx Cab 不可积的几个初等函数： 2 221 s in c o ss in c o slnx xxe x xx x x 4.1.2.换元积分法和分部积分法换元积分法： 1.第一类换元积分法，即凑微分法，合并。 2.第二类换元积分法，拆分。分部积分法：

10、( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x d x u x v x u x v x d x 4.1.3.有理函数和可化为有理函数的积分有理函数 ()()()PxRxQx的积分可以归结为下列四种简单分式的积分：（ 1） Adxxa ；（ 2） A()ndxxa；（ 3）2Mx+N dxx px q；（ 4）2 Mx+N()n dxx px q 12 2 2 2 2 1 21 2 3( ) 2 ( 1 ) ( ) 2 ( 1 )nnnnd x x nIIx a a n x a a n 三角函数有理式的积分一般用万能代换 tan2x t，对于如下形式可以采用更灵活的代换：

11、对于积分 22(sin ,cos )R x x dx ，可令 tanx=t；对于积分 (sin )cosR x xdx ，可令 sinx=t；对于积分 (cos )sinR x xdx ，可令 cosx=t，等等。某些可化为有理函数的积分 1. ( , )n ax bR x dxcx d型积分，其中 n1，其中 ad bc。这里的关键问题是消去根号，可令 ax b tcx d 。 2. 2(,R x ax bx cdx 型积分 , 其中 2 40b ac， a 0 。由于222 24()24b ac bax bx c a x aa ，故此类型积分可以化为以下三种类型： 22

12、( , )R u k u dx ，可用三角替换 sinu k t ； 22( , )R u u k dx ，可用三角替换 secu k t ； 22( , )R u u k dx ，可用三角替换 tanu k t 。 1 21tan tan1nnnnI xdx x In 倒代换： 2411 x dxx， 2411 xdxx，由此还可以求出411 dxx， 241x dxx 2211s in c o s , ( 0 )s in c o sa x b x dx a ba x b x 解：设 11s i n c o s ( s i n c o s ) ( c o s s i n )a x b x A

13、 a x b x B a x b x ，为此应有11aA bB abA aB b ，解得 1 1 1 12 2 2 2,aa bb ab baABa b a b，故 11s i n c o s ( s i n c o s )s i n c o s s i n c o sa x b x a x b xd x A d x B d xa x b x a x b x 1 1 1 12 2 2 2 l n | s i n c o s |a a b b a b b ax a x b x Ca b a b 4.2 定积分 4.2.1.可积条件可积的必要条件：若函数 f(x)在闭区间 a,b上可积，则 f(x)在 a,b上有界。可积函数类：闭区间上的连续函数，单调函数，有界且只有有限个间断点。 4.2.2.定积分的计算 1.换元积分法 ( ) ( ( ) ( )ba f x dx f t t dx 从右到左，相当于不定积分的第一类换元积分法，从左到右，相当于第二类换元积分法。 2.分部积分法 ( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) ( )b

展开阅读全文