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1、1“一道高考题的向量解法初探”教学案例胡 松 1、教学设计：爱因斯坦说：“提出一个问题，往往比解决一个问题更重要。 ”所以在数学教学中，通过数学情境引导学生积极发现问题、提出问题、思考问题、探究问题和解决问题，从中陶冶学生的情操，同时能极大地调动学生的学习积极性，让学生从惧怕数学到亲近数学，从亲近数学到喜欢数学。本节市级公开课，我按照数学“情境问题”的教学模式，作了以下设计。1.1 背景资料本节课的教学内容以 2003 年高考（北京卷） （理）第 19 题为背景，设计了问题情境，并让学生提出相应的数学问题，在此基础上重点解决了这道高考题的第 1 问以及它的推广情形。1.2 提出问题根据情境资料
2、，让学生分组讨论，并提出尽可能多的问题。 （可能会提出以下问题）（1）若希望点 到三镇距离之和最小，则 P 应位于何处？（这是数学家费P尔马曾经向他的朋友物理学家托里拆里提出的一个著名的问题，因此，所求点在数学上也称为费尔马点。它在供电线路和工程设计中有着较多的应用。 ）（2）若希望点 P 到三镇距离一样远，则 P 应位于何处？（3）假设医院只有一辆交通车，每天要接送 A、B、C 三镇的职工上下班，若希望交通车所行使的路程最短，则 P 点应位于何处？ 1.3 组织形式本节课以合作探究的形式组织教学，教师引导学生通过分组讨论，共同探索，从而提出问题。1.4 学习方式动手实践、自主探索与合作交流是
3、学生学习数学有效的重要方式，因此本节课力求改变学生被动的接受式学习方式，让他们积极主动地参与到学习中去，成为学习的主体。1.5 评价方式2在课堂教学中关注学生在学习活动中的积极性和参与程度，注重过程性评价。通过教学活动给学生充分展示自己的机会，并且教师给予即时的鼓励与评价，帮助学生认识自我，增强自信，激发学生学习数学的兴趣。2、教学过程2.1 师：同学们，在纷繁的社会生活与经济生活中，数学越来越多地扮演着重要的角色，不是吗。请看下面的问题：（投影展示）有三个新兴城镇分别位于 A、B、C 三点处，且AB=AC=a，BC=2b，今计划合建一个中心医院，其位置定为 P 点，为同时方便三镇，请你来确定
4、 P 点的位置。2003 年高等学校招生全国统一考试（北京卷） （理）第19 题的题设2.2 提出数学问题师：就此数学情境，你能提出哪些相关问题？ 学生分组讨论 5 分钟后，提出了以下问题：问题 1. 若 A、B 两个新镇各有一人受伤，而医院只有一辆救护车，问：救护车怎样走才能用最短时间将病人送到医院？问题 2. 当 P 点在何处时，到 A、B、C 三点的距离之和最短？（4 组次）问题 3. 若点 P 到 A、B、C 三点距离相等，求点 P 的位置。 （3 组次）问题 4. 怎样用 a、 b 表示 PA、PB、PC？问题 5. 若ABC 旁有一条高速公路，为了方便运输药物以及兼顾到A、B、C
5、三镇的距离之和最短，P 点应建在何处？问题 6. 若 P 点是ABC 的重心，试用向量 、 表示出 P 点的位置。ABC问题 7. 假设 P 点是ABC 的重心，若在 P 地点的某个医生要去 A、B、C 三地出诊，如何走最节省时间？问题 8. 若 A 镇出建设医院总费用的 ，B 镇出 ，C 镇出 ，且 P 到21631A、B、C 三镇的距离与它们所出的费用成反比，则 P 点应设在何处？问题 9. 若公路 AP 上的最高车速为 50km/h，公路 BP 上的最高车速为PACB370km/h，公路 CP 上的最高车速为 90km/h，若要 A、B、C 三地病人到医院时间都相等，P 点应建在何处？（
6、2 组次）问题 10. P 点建在何处时，使得 PA、PB、PC 的长成等差数列或成等比数列，并求出公差 d、或公比 q 为多少？师：同学们的讨论很热烈，考虑的问题全面周到，提出的设想也比较符合实际，尤其是大部分同学都考虑到了一个如何提高医院的利用效率问题，以及最大限度在总体上节约人力和物力成本，而同学们所考虑的问题既有新意也有现实意义，那么同学们想不想看看命题专家提出的到底是什么样的问题呢？众生：想！2.3 高考题（投影展示）有三个新兴城镇分别位于 A、B、C 三点处，且 AB=AC=a，BC=2b，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在 BC 的垂直平分线上的 P 点处（建立坐标
7、系如图） （）若希望点 P 到三镇距离的平方和最小，则 P 应位于何处？（）若希望点 P 到三镇的最远距离为最小，则 P 应位于何处？师：由于时间关系，我们只解决其中的一个问题。2.4 问题解决问题（）解：由题设可知，ab0.记 h= ,设 P 的坐标为（0， y） ，2ba则 P 至三镇距离的平方和为 f(y)=2(b2+y2)+(h y)2=3(y )2+ h2+2b2.3所以，当 y= 时，函数 f(y)取得最小值.3h故 点 P 的坐标是（0， ）.312ba即当 P 点为三角形的重心时， y 取得最小值。师：显然这道高考题的问题 1 利用函数的思想很容易就被解出来了，但同学们可能会想
8、，在现实生活中不一定有这么特殊的情况（恰好有三个新兴城镇分别位于等腰三角形的三顶点处） ，因此，我们有必要把问题 1 的情况给予推广。即问题（）的推广：yxOB CAP(-b,0) (b,0)4对任意ABC，BC=a，AC= b，AB= c，若使点 P 到三顶点距离的平方和最小，则 P 应位于何处？解： 222|y PCBA设 222 ) + () (+AP 3 2CBBA |)(2| 2取 BC 的中点 O，则 AO 即是 BC 边上的中线， 四 边 形 法 则 ）（ 根 据 向 量 加 法 的 平 行 = +ACB22+ |3y bcPos|4 | 所 成 的 角 ）与是（ 其 中 AO由
9、于1cos1，并且 、 均为非负数，|P|所以 y .+ | 4| 322bcP式当 cos=1 时取到，即 =180，此时 和 共线且方向相反，即 P 点应在中线 AO 上；AO式右=3( | |)2 +c2+b2|P3A34|Oc 2+b2 4 .|式当 = 时取到；此时 P 点必定是ABC 的重心|师：通过对问题 1 的推广以及解答，我们证明了“到三顶点距离的平方和最小的点是三角形的重心”这一结论不仅是对等腰三角形成立，对任意三角形也是成立的。同学们，本问题的解决对你们的启发一定不小，看得出不少同学兴趣很浓，意犹未尽，请各小组课后继续讨论，提出并思考你们感兴趣的数学问题。mOPCABbc
10、a52.5 实践活动及课外作业贵州师大后门架设的人行天桥（如图所示） ，也类似于本堂课的情境问题，请各小组课后进行实地考察，得出相应的数据和资料，结合所学过的数学知识，论证天桥架设的合理性，是否有更优方案？要求详细写出各小组研究学习的结果，把心得体会形成一篇不少于 1000 字的数学小论文，并在两周后的星期一上交。天 桥金 筑 酒 店延安东路宝山北路宝 山 北 路邮电宾馆贵州师大师大附中3、教学反思：3.1 尝试新模式 体验学习的快乐 本节课充分展示了数学“情境问题”教学这一基本教学模式，使学生在主动参与的数学学习活动中体验到了自主学习的乐趣。学生提出的问题不但印证了我初始设计的想法，还提出了
11、其他更有创意和现实意义的问题，使我在今后的教学中使用数学“情境问题”教学模式更有信心。3.2 点评学生提出的问题应慎重在学生经过分组讨论后提出问题的环节，只要是学生经过了充分的思考和讨论提出的问题都应该积极面对，认真探索，不要主观的下结论，更不能随意否定。63.3 合理安排数学“情境问题”课的时间 由于在前半节课花了大量的时间给学生提出问题，以及对学生提出的问题进行点评，导致后半节课在讲解问题“若希望点 P 到三镇距离的平方和最小，则 P 应位于何处”时缺少时间和学生进行交流与互动。再者，对学生掌握本节课备用知识的了解程度不够，从而在讲解问题时，对一些细节问题再三解释说明，浪费了时间。3.4
12、意料之外 情理之中 刚下课，就有一位学生（戴志坚）跑到讲台上，对高考题第 1 问推广后的解法提出了异议，戴说：“当证明了要使 y 取到最小值，点 P 必须在 BC 边的中线上时，其实就有了结果，因为可以同理认为点 P 还应该在 AB 和 AC 边的中线上，故点 P 只能是三条中线的交点，即重心。 ”对此，我立刻加以了赞赏和肯定。3.5 集思广益 不断完善 老师甲：“能否就高考题第 1 问本身采用向量解答，这样在推广到一般时过渡就更自然些。 ”老师乙：“能不能在上课伊始就把师大后门天桥的背景给出，制造悬念，激发学生的兴趣等。 ”老师丙：“高考题第 1 问的推广也可采用用坐标法 ，即在建立平面直角
13、坐标系后，证明 P 点坐标为( ， )，其中三个顶点的32x321y坐标为 A(x1， y1)、B( x2， y2)、C( x3， y3)”老师丁：“当解答过程推出 时，其实可以22+ + |= bcAOP考虑进行以下变形： 22 |3y A2+ 4+ =bcP2 3)(O从而要使 y 取到最小值，只需使 = ，即 ，所以 P 点A0A37是ABC 的重心。 ”3.6 一个值得商榷的问题有位教师还提出了一个值得争议的问题：既然有学生提出了“当 P 点在何处时，到 A、B、C 三点的距离之和最短”这样有价值的费马问题，且有着很好的几何与现实意义，学生们又对其非常感兴趣，在实际课堂上为何不讲解呢？
14、其实这一问题我在教学设计时就思考过，但考虑到时间和学生目前的知识储备都不够等因素，便决定留给学生课后与老师一起去探索和研究。我想这样的矛盾在数学“情境问题”的教学中是不可避免的，我们也只能在有限的时间里解决力所能及的问题。参考文献：1 吕传汉,汪秉彝,康纪权,夏小刚.数学情境与数学问题重庆大学出版社 2001 年2 吕传汉,汪秉彝.中小学数学情境与提出问题教学探究 贵州人民出版社 2002 年3 石小康 .高中“数学情境与提出问题”的教学实践“函数的应用”教学案例 贵州师范大学学报（教育科学版） 2004 年 2 月（贵州师范大学附属中学 550001）点 评：（1）从学生实际出发创设数学情境
15、教师以一道高考题的题设为情境，引导高三学生进行“高考命题” ，激发了学生的学习兴趣，促进学生主动投入到学习活动中，收到良好的效果，这种作法在数学教学活动具有新意。（2）应用多种方法解决问题教师既引导学生用代数的方法（函数、不等式）解决问题，又激发学生用向量的方法求解，从而加深对所学知识内在联系的认识，实现培养学生灵活运用所学知识解决实际问题的目的，这对学生的考前复习大有裨益。（3）布置课后的实践活动，让学生带着问题回到生活中去，应用数学的知识解决实际问题，取得了实际效益。从课后一位学生与教师交流解法的学习活动中，看到了教师的亲和力和启发性点拨，促进了学生的探究式学习和深层思考。（点评人 林运来 汪秉彝）
