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1、储油罐的变位识别与罐容表标定的探究模型摘要对于问题一，椭圆柱体内的剩余油量为： ，其中 为罐长，dzSL0V油 L为水平位置 z 处垂直于油罐底的截面的面积，是关于 z 处油高 h 的函数。zS在罐体无变位情形下， 与 z 无关，因而 。S*)(油在罐体发生纵向倾斜时，油位高度随水平位置 z 线性变化，可有油位探针处油高 h 计算得到。在对 积分时，我们采用复化梯形公式进行近似计算。为求解问题一，我们首先首现采用最小二乘法对油罐参数进行修正合，得到 。利用附件 1 的数据进行检验，用已知参数ml431.2,6.0b, m824.0a计算时，计算值与实际值误差绝对值平均值为 75.5，而利用修正
2、后值为 。0.735利用我们用修正后的参数，用复化梯形公式计算 情形下的罐容表见表0.46_1,利用实际的数据进行检验，绝对误差的平均值为 1.05%，相对误差的最大值为：3.5%对于问题二实际油罐可分为圆柱体和球冠两部分。柱体部分油量 V1的计算与问题一相似。对于球冠部分，我们采用水平方向对球冠进行截面，高度为处的截面积记为 ，故球冠部分的油余量为 为 的积分。油总量为vvS2VvS。21V油储油罐纵向倾斜时，柱体部分油余量计算同问题一，球冠部分会导至左右两个球冠油高不同，我们利用柱体两端的油高做为左右两个球冠油高的近似。当油罐横向偏转角度时，仅会使得油位探针测得油高 h 不再是该位置的油高
3、，实际油高为 ， r 为柱体半径，计算中只是用hrhhcos)()(替换前面中的 h 即可。具体计算积分时我们仍采用复化梯形公式。h为估计 ，我们采用分步搜索法。在区间0,150,15内以 3 为步长穷，举 的 36 不同组合，利用附录 2 中数据，对每种组合计算出油量计算值与，实际值残差平方和，寻求残差小的区间，经多次缩减，最后以步长 0.1，在区间4.2，4.5、2.5,2.8内搜索，最终得到 ，然后在此基础006.24.，上计算罐容表，见表 6_2, 利用附件 2 中数据进行检验，相对误差绝对值的平均值为 1.85%，相对误差绝对值的最大值为 5.15%。关键词：油罐、变位识别、罐容表、
4、复化梯形公式一、问题重述通常在加油站中，储油罐一般都埋于地下，由于地下储油罐的不可视性，我们无法直观地探测的实时容积，从而无法及时向油罐补充油量。加油站采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。地下储油罐由于地基变形等原因，其罐体的位置会因此发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。因此需要定期对罐容表进行重新标定，及时补充油料。为此我们对以下问题进行探讨：（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，首先我们利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体）附
5、录图四，分别对罐体无变位和倾斜角为 =4.10的纵向变位两种情况做实验。建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于附录图1所示的实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二、问题分析1、问题一：1.1 小椭圆型储油罐没有发生变位时，
6、油位平面与水平线平行（见下图 4）。此油罐是一个椭圆柱体，可以利用二重积分求椭圆柱体的体积，从而可以得到其剩余油量与油位高度的函数关系。1.2 小椭圆储油罐发生变位，即油罐地面与水平线有一定的倾斜角度，倾斜角为 的纵向变位（见下图 4），倾斜后的油面高度分三种情况来分析。01.42、问题二：2.1 实际储油罐无变位的情况，将柱体油罐剩余油量的体积分为柱体部分，球冠部分，对于柱体部分，柱体的剩余油量的体积类似问题一中椭圆柱体的体积计算，只需将椭圆柱体计算公式中的长半轴跟短半轴换成半径。2.2 实际储油罐发生变位后的情况，依然将柱体油罐剩余油量的体积分为柱体部分，球冠部分，对于柱体部分，通过横向倾
7、斜对液面高度的计算将液面高度换成只考虑纵向倾斜的液面高度，问题的解决方法也就跟问题一类似。三、模型假设1、假设油位探针不会发生形变，始终垂直油罐底面；2、假设横向倾斜时对圆缺没有影响;3、假设倾斜后油罐的球冠部分的液面与油罐底平行。四、符号说明a表示椭圆油罐的长半轴b表示椭圆油罐的短半轴L表示椭圆油罐的罐长h表示椭圆油罐的油位高度油V表示椭圆油罐里剩余油量的体积zS表示椭圆油罐中水平位置 z 处垂直于油罐底的截面的面积 表示横向倾斜角r 表示实际油罐圆柱部分的半径R 表示实际油罐球冠部分的半径v 表示实际油罐球冠部分中油液面所处高度R(v) 表示实际油罐球冠部分中油液面所处高度相应的半径H 表
8、示实际油罐球冠部分拱形的高度 表示实际油罐的纵向倾斜角 表示实际油罐的横向偏转角度五、模型建立1、问题一问题的关键在于罐体无变位及有变位情形下，罐体内油剩余量的计算问题，也就是油在罐内体积计算的问题，利用三重积分来计算。椭圆柱体内的剩余油量的体积计算方法如下：，其中 为罐长， 为 z 位置处油截面的面积。dzSl0V椭 圆 lS1）无变位情形当 i）椭圆油罐无变位情形时， 是与 z 位置无关的常数，仅与油量高度 有关，记作 。h0Sz如图 1_1 所示：椭圆柱体的截面是长半轴为 a，短半轴为 b 的椭圆。油液面的高度为 h,油面是图所示的阴影部分，即为 。0Sz由椭圆的基本知识有，椭圆的标准方
9、程为：12byax先求阴影部分的面积：dzSb-hy-1a02=y12b-h2da=y1ab2-h2db利用参数变换，令 ，其中 ，sinbh，1sin得 )(coab2zS-h10id=)b-hsin(arc12s= )b-hsin(arc1)b-hsin(arc1 2odd= arcsini2arcsin- = arcsin(-1)2ib-hsiri21rsi(-)b-harcsinb= （5-1）-niarciria故椭圆柱体中剩余油的体积为： L*zSV0油= （5-2）Lb-hnsi2arci1b-harcsinba2）倾斜角为 的纵向变位情形椭圆油罐发生倾斜角为的纵向变位时， 随
10、z 的变化而变化。不同的S位置 z，其油高也不同,记 z 位置的油高为 。 ，根据假设 1,油位探针位于)(hz=0.4 处，探针实际测得油高就是 z=0.4 处的油高，记为 h, 其他位置的油高可由 z=L0=0.4 处的油高 h 计算得到， 油罐内油余量为 ， )(h dzSL0V油具体需根据探针处油位高度 h 取值范围分如下三种情况进行讨论：（1）当 时，右边有部分区域油高为 0，如下图. )cot*(,0h0L位置 z 处的油位高度 h(z)为： )Lcot(0 ;,tan)L( ;0)( 000 ，hzhz把上面的 h(z)代入式(5-1)，得到对应截面积 S(z)为： Lcot(0
11、 );,2tan)L(arcsin2ab-)tnL(z-habrcsi ;,0(t)(rsi2-)ta-(rsi)(S 000 00 ，hzbhzbhzz其中 ，下同。为 倾 斜 角探 针 的 水 平 位 置 ，为 油 罐 长 度 ， 0(2).当 时，如下图)tan*2,cot*)(0LbLh位置 z 处的油位高度 h(z)为：);L,(,tan)L(0)(0zhh把上面的 h(z)代入式(5-1)，得到对应截面积 S(z)为： );,L,2tan)L(arcsin2ab-)tnL(z-habrcsi ;,0(t)(rsi2-)ta-(rsi)(S 000 00 zbzhzbhzz (3).
12、当 时，在 左边部分为满油状态，如t*20ot)(0下图：位置 z 处的油位高度 h(z)为： ),(,tan)L( );,cot2L),0,2)( 00 00 zzh Lhbhbz把上面的 h(z)代入式(5-1)，得到对应截面积 S(z)为： );,L,2tan)L(arcsin2ab-)tnL(z-habrcsi ;,0(titai cot)2(,0)(S 0000 zbzhhbzabz 2、问题二1）无位变情形当没有变位时假设已知参数 R,r 和 L 的条件下，推导储油罐剩余油量高度为 时体积的计算公式，且 （其中 为中间圆柱体部分)z0(R21V1所剩余油量的体积， 两端球缺部分的剩
13、余油量的体积）2V计算中间圆柱体部分剩余油量的体积 ：1此部分相当于圆柱体的一部分：，其中 表示实际油罐体中水平位置 z 处垂直于油罐底的截截 面S*L1截 面面的面积，下面计算截面面积 。截 面S利用几何公式可得，油液面高度为 h 时界面面积为： 222 )()(arcos*S hrr截 面所以，油液面高度为 h 时柱体体积为： )()(arcs*()( 2221 rrhLhV截 面计算两端球缺部分所剩余油料的体积 ，依据截面高度 v 取值不同分两种2V情况分析：当 vr 时，如图：22)()v(rvR因为 ，所以)(cosaH 222222 22 )()()(arcos)( )(r)(S
14、rvHRvrRHvRv h02)dSV油高为 h 时无位变情形下余油体积为： rvVrvLrvr rvHRRHRrvLrvr 22220 222222 22221 actn )()()(os)(actnV2）倾斜角为 的纵向变位情形柱体部分当实际罐体纵向倾斜时，中间圆柱分如下三方面进行讨论：（1）.当 时，如图 2_1：)cot*(,00Lh)Lcot(0;,tan)2(;0)(0，hzzh其中 是油位探针在 z 轴上位置，h 为油位探针实际测得油高，就是 处L 0L的油高。然后令 v= h(z)，代入到式 计算得到 S（z）如下：: )Lcot(0 ,)(tan)2( 0)()( 0tan)2( 22t)(02 ， hzdhhrzdhrzSzhzh )*cot(0 222)*cot(0 dzarctn(LL RzRzdzsV(2).当 时，积分区间 ，如图)tn,t)0rh ),0(L2_2：);L,(,tan)2(0)(zzhh );cot,(,)tan2(2)( )tan2(rcos)tan( ;L,0(,)t()( )t(rs)t( )(2)(rcos 0222 22 2222 hzzhHRhrRHzhr zzrzR vrRvRHvzS; L0 20 drczdsVL(3).当 时，在 左边
