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1、2017 中央电大专科微积分初步期末考试完整版小抄一、填空题函数 的定义域是xf51)(（， 5）5 0 5 1 xsinlm，x 01x时 ，已知 ，则 = xf2)()(f2ln）（若 ，则 cFdfd)3CxF)3(微分方程 的阶数是 三阶 yxyxesin)(4 y6.函数 的定义域是（-2，-1 ）U（-1，) )2l(1)xf12-1ln)2(l-0n2 xxx ， 1- |且7. 2xsinlm01sili0xx 21:2sinlm0x8.若 y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则 (0) = -6 yy=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x2-x)(x2-5x+6)=
2、x4-5x3+6x2-x3+5x2-6x=x4-6x3+11x2-6x , （把 0 带入 X）6184y3x,6)0(y9. xde2或)()(ff）（ dffd)()(10.微分方程 的特解为 y=ex . 10,yyx yx1两 边 积 分又 y(0)=1 (x=0 , y=1)ecln010c，11.函数 的定义域是24)ln()xxf2,1-，1212xln)l(-0)(ln42x 12.若函数 ,在 处连续， 则 10,13sin)(xkxf k( 在 处连续) )(lim00fxff0kf)0(（无穷小量 x 有界函数）113sinlim)13sin(lixxx13.曲线 在点
3、处的切线方程是y),( 21y， x2121 切kx|y)(x方 程14. sin x+csd)in(15.微分方程 的阶数为 三阶 xysin45316.函数 的定义域是（2,3）U（3， ）)2l()xf3x2|12ln0)ln(且 xx17. 1/2silm18.已知 ，则 =27+27ln3xf)(3)(fln2xf 3ln2719. =ex2+c d20.微分方程 的阶数为 四阶 xyxysi4)(7)(3二、单项选择题设函数 ，则该 函数是（偶函数） 函数2exy 所 以 是 偶 函 数)(2e)(xfxf的间断点是（ ）分母无意 义的点是间断点23)(2xf 2,1x 2,102
4、32xx下列结论中（ 在 处不连续，则一定在 处不可导）正确可 导必连续，伹连续并一定可导；极)(f00x值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上 如果等式 ，则 （ ）cxf11ed)( )(xf21)()1()(,u),()()( 11 xexeyxfFCxdf uxx， 令2212)()(xfxefu下列微分方程中，（ ）是线性微分方程 ysin6.设函数 ，则该 函数是（奇函数）y7.当 （2 ）时，函数 在 处连续.k0,2)(xkxf8.下列函数在指定区间 上单调减少的是（ ） x39.以下等式正确的是（ ）3lndxx10.下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ）yxd11.
5、设 ，则 （ ）1)(2xf )(xf)212.若函数 f (x)在点 x0处可导，则( ，但 )是错误的 Af(lim0(0xf13.函数 在区间 是（先减后增）2y),14. ( ）fd)cff()15.下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ）yxd16.下列函数中为奇函数是（ ）)1ln(2x17.当 （ ）时，函数 在 处连续.k20,e)kf18.函数 在区间 是（先单调下降再单调上升）1xy2(19.在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（y = x 2 + 3）20.微分方程 的特解为（ ）)0, xe三、计算题计算极限 423lim2x解: 1)(li)
6、(1li22 x）设 ，求 .yxeyd解： x23212- x1，u= -2xu(-2x)=eu（-2）)(1ey= -2e-2xy= -2e-2x+ x213dy=(-2e-2x+ )dx213计算不定积分 xdsin解：令 u= ,u=21x21 dxu 2du= =2(-cos)+csinudsin2= -2cos cx计算定积分 xe10u=x，v=ex,v= ex vdx=uv10uvdu-10|1)(01100|exxdx原式=25.计算极限 9152lim3x34li)(li x6.设 ，求ycosnyd解： xxcoslnl221y1=lncosxy1=lnu1,u=cosx
7、 xuycosin)si(1ly1= xcosin23dy=( )dxi217.计算不定积分 xd)(9解： 9令 u=1-2x , u= -2 duxdu21cc20192)(10998.计算定积分 xde0解：u=x, v， )()(1010|xdxxx= 1|ex9.计算极限 4586lim24xx321li)(1li4x10.设 ，求yxsnydy1=sin3x y1=sinu , u=3x , x3cossinu1 ）（）（y=2xln2+3cos3x dy=(2xln2+3cos3x)dx11.计算不定积分 dcosu=x , v=cosx , v=sinxxdcoscx)os(i
8、ni12.计算定积分 xdln51e令 u=lnx, u= , du= dx , 1xe 0lnx1eeeedxxd11e11ln5ll| x1 21l|001 uxe原式=1+5 =2713.计算极限 623lim2xx解： 51li)(1li22 x14.设 ，求xyey解： x12( ) , , , )x1uxeeuux2121()(ex12x1x122)(y15.计算不定积分 d10解： u=2x-1 , =2 du=2dxx10 cduu1221010)(x）（ 116.计算定积分 0ex解： u=x , , dx10vx)(10|edx四、应用题（本题 16 分）用钢板焊接一个容积
9、为 4 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米 10 元，焊接费 40 元，问3m水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为 x，高 为 h,表面积为 s，且有 h= x24所以 S(x)=x2+4xh=x2+ 16xS216令 （x）=0，得 x=2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以 x=2，h=1 时水箱的表面积最小。此时的费用为 S（2）10+40=160 元欲用围墙围成面积为 216 平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵 墙将其隔成两块， 问这块土地的 长和宽各选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 设长方形一边长为 x，S=216 另一边长为
10、 216/x总材料 y=2x+3216/x=2x + 648y=2+648(x-1)=2+648(-1)=2 - x2648y=0得 2 = x2=324 x=18一边长为 18，一 边长为 12 时，用料最省.欲做一个底为正方形，容 积为 32 立方米的长 方体开口容器，怎 样做法用料最省？设底边长为 a 底面积为 a2a2h=v=32 h= 23表面积为 a2+4ah= a2+4a = a2+318y= a2+ , y=2a+128( - )=2a-182y=0 得 2a= a3=64 a=42底面边长为 4， h= =2163设矩形的周长为 120 厘米，以矩形的一边为轴旋转 一周得一圆
11、柱体。 试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形一边长为 x ，另一 边为 60-x以 AD 为轴转一周得圆柱，底面半径 x，高 60-xV= 32260)( xxv221360得： 40矩形一边长为 40 ，另一边长为 20 时，V max作业（一）函数，极限和连续一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1.函数 的定义 域是 答案： )ln(1xf ),3(),22函数 的定义域是 答案： 3.函数 的定义域是 5 524)ln(1xxf 答案： 2,4.函数 ，则 答案： 7)1(xxf )(f 62x5函数 ，则 答案： 0e6函数 ，则 答案： f2)()(xf
12、127函数 的间断点是 答案： 132xy x8. 答案： 1 xsinlm9若 ，则 答案： 2 2i40k10若 ，则 答案： 1.5； 23sinlm0kxk二、单项选择题（每小题 2 分，共 24 分）1设函数 ，则该 函数是（ ）答案：BexyA奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数2设函数 ，则该 函数是（ ）答案：Asin2A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 3函数 的图形是关于（ ）对称答案：D)(xxfA B 轴 C 轴 D坐标原点yy4下列函数中为奇函数是（ C ）A B C D xsinxl )1ln(2x2x5函数 的定义域为（ ）答案： D)
13、5(41yA B C 且 D 且 0546函数 的定义域是（ ）答案：D)1ln()xfA B C D ,1(),(,0),2(),0),2(),17设 ，则 （ ）答案：C)2f fA B C D xxx8下列各函数对中， （ ）中的两个函数相等答案： DA ， B ，2)(fxg(2)(fg)(C ， D ln)ln3lnln9当 时，下列变量中为无穷小量的是（ ）答案：C.0xA B C D 1xsi )1l(x2x10当 （ ）时，函数 ，在 处连续. 答案：Bk0,)(2kfA0 B1 C D 11当 （ ）时，函数 在 处连续 答案：D,)(xexfxA0 B1 C D 2312函数 的间断点是（ ）答案：A3)(2xfA B C D无 间断点,x3,21x三
