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1、1分解因式典型例题例题一例 01 选择题：对 运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）npm22（A） （B）n)( )()(mp（C） （D）( n典型例题二例 02 用分组分解法分解因式：（1） ；（2） .xyx137224yx分析 本题所 给多项式为四 项多项式，属于分组分解法的基本题型，通过分组后提公因式或分组后运用公式可以达到分解的目的.解 （合理分组） （组内提公xyx2 )3()17(2xy )3()(7xyx因式） （组间提公因式）)7(3 （注意符号） （组内运用公式）2241422y21（组间运用公式）)yxyx )(yx说明 分组分解法应用较为灵活，分组时要有预见性，可
2、根据分组后“求同”有公因式或可运用公式的原则来合理分组，达到分解的目的 .另外在应用分组分解法时还应注意：运用分组分解法时，可灵活选择分组方法，通常一个多 项式分组方法不只一种，只要能达到分解法时，殊途同 归.分组时 要添加带“”的括号时，各项要注意改变符号，如的第一步.典型例题三例 03 分解因式： 31523x分析 本题按字母 的降幂排列整齐，且没有缺项，系数分别为 ， ， ， .系数比相等的有513或 ，因而可分 组为 、 或 、 . 315)(3x)315(2)(23x)(解法一 （学会分组的技巧）352x152 x)(2x解法二 123)3()(23x)15(3)(22x)3(2说明
3、 根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可谓分组的一大技巧！典型例题四例 04 分解因式： xyx2172分析 本例为 四项多项式，可考虑用分组分解法来分解.见 前例，可用 “系数成比例” 的规律来达到合理分组的目的.解法一 xyx32)3()7(2xy )3()(7xy)7(yx解法二 1721y7说明 本例属于灵活 选择分 组方法来进行因式分解的应 用题，对于四项式，并不是只要所分组的项数相等，便可完成因式分解.要使分解成功，需考虑到分组后能否 继续分解.本小题利用“ 对应系数成比例”的规律进行巧妙分组，可谓思维的独到之 处， 这样避免了盲目性，提高了分解的速度.2典型例题五例 05 把下
4、列各式分解因式：（1） ；（2） ；（3）2zyxzy 122abca.4242yxxy分析 此组题项数较多，考虑 用分组法来分解.解法 （1） 22zz )()(22zyxzy 2)(zyx)(yx（2） 12abca1222cba221(cba)（3） 442yxxy )4()4(22yxyx 1)()2yxyx)1(说明 对于项数较多的多项式合理分组时，以 “交叉项” 为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组，这使分组有了一定的针对性，省时 提速.如中， “交叉项”为 ，相 应的平方项为 、 ；中， “交叉项”为 ，yz2yzbc2相应的平方项为 、 .2bc典型例题六例 06 分解因式：
5、（1） ；（2） .652a103m分析 本题两例属于 型的二次三项式，可用规律公式来加以分解.pqx)(解 （1） ， ，)(5)3(222 a（2） ， ，10.m)2(5)2(2m)2(5n说明 抓住符号变化的规律，直接运用 规律.典型例题七例 07 分解因式：（1） ；（2） .4)(5)(2ba217qp分析 对（1），利用整体思想，将 看作一个字母，则运用 型分解；对（2），将pqx)(其看作关于 的二次三项式， 则一次项系数为 ，常数项为 ，仍可用 型的二次p22三项式的规律公式达到分解的目的.解 （1） 4)(5)(2ba)4)(1(ba（2） ， ，3qqq73221qp21
6、7qp.p典型例题八例 08 分解因式： ； ； ；134xp36522 )()(ba .cbab224分析 本组题有较强的综合性，且每小 题均超过三项，因而可考虑通过分组来分解.解 法一： （ 可继续34x)(34x)1(3x)1(3x3分解，方法很简单： ，对于 方法类 似，可以自己探索）)1( )2法二： 34x341222x)3(a3)1)(1(2xx34)(34 )1()(33x)1(3x)2 （看作 型式子分解）qpqp652 6522qpab2)()( )( 11ba 122baa33 )(3)(22b c244 )()4(22cbc)(22c)()( baa1cb说明 中，虽然
7、三法均达到分解目的，但从目前同学 们 知识范围来看，方法二较好，分组既要合理又要巧妙，使分组不仅达到分解目的，又能简化分解过程，降低思维难度.式虽超过四项，但通过分组 仍可巧妙分解，只是分 组后不是通常的提公因式或运用公式，而是利用了 型二次三 项式的因式分解.将 看做关于 的二次三项式 ，abx)(2 2265qppq326.265qpqp32)(式表面看无法分解，既找不到公因式，又不符合公式特点，对待此类题目，应采用“先破后立”的方式来解决.即先做多项式乘法打破原式结构，然后 寻找合适的方法 .式项数多，但仔细观察，项与项之间有着内在联系，可通过巧妙分组以求突破.但应注意： 不可混淆因式分
8、解与整式乘法的意义.如小题中做乘法的目的是为了分解因式，不可在分解中，半路再返回做乘法.善于将外在形式复杂的题目看做熟悉 类型，如 小题中 .2265qp典型例题九例 09 分解因式：（1） ；（2）6)(x)()1(2baxab分析 本组两个小 题既无公因式可提又不符合公式特点，原题本身给出的分组形式无法继续进行，达到分解的目的，对此类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解.解 （乘法运算，去括号）)(x6)3(2x632x（重新分组）623(x )()2( 1baab（乘法运算去括号） （重新分组）x2 2xbaxab)()(x)(xa说明 “先破后立，不破不立 ”.思维的独创性使
9、表面看来无法分解的多项式找到最佳的分解方式.典型例题十例 10 分解因式 。分析 因式分解一般思路是： “一提、二代、三分组、其次考虑规律式673（十字相乘法）” .即：首先考 虑是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考虑可否套用公式，用公式法分解；再考虑是否可以分组分解；对形如二次三项式或准二次三项式可以考虑用“规律式”（或十字相乘法）分解.按照这样的思路，本 题首应考虑用分组分解来 尝试.4解 716733aa )7()(3a)1(7)(12aa)(1262 3说明 当 时，多项式 值为 0，因而 是 的一个因式，因此，可从 “凑3 6因子” 的角度考虑，把 6 拆成 ，使分 组
10、可行，分解成功.运用“凑因子”的技巧还可得出以下分解方法.法二： 73a3a)1(6)(2 )1(6)()6(2a)3(21(a法三： （凑立方项）3 4873 )4783242 )2)()(a法四： （与 凑立方项）73 133a17()(3a（套用 公式）)(92b)92)( )2(法五： （拆 项）63a643a76()4(3a)2(34(2a2()1法六： （凑平方差公式变 项）73937693)9(2 )(2)3()(2(1a法七：令 则（ 为多项式一个因式，做变换 ）x 1ax（做乘法展开）673a6)1(7)3x 672342 )4(42 )31)(2)(x（还原回 ）()1(a
11、a说明 以上七种方法中，前六种运用了因式分解的一种常用技巧“拆项”（或添项），这种技巧以基本方法为线索，通过凑因式、凑公式等形式达到可分 组继而能分解的目的 .“凑”时，需思、需悟、触发灵感.第七种运用了变换的方法，通过换 元寻找突破点.本题还可以如下变形： 673a )6(1)()67()( 223 aaa典型例题十一例 11 若 是完全平方式，求 的值.542kxk分析 原式为完全平方式，由 ， 即知为 ，展开即得 值.22)(4x252)5(xk解 是完全平方式 应为2)又 ，故 .0)(2xx0k说明 完全平方式分为完全平方和与完全平方差，确定 值时不要漏掉各种情况.此题为因式分解的逆
12、k向思维类，运用 来求解.222)(baa典型例题十二例 11 把下列各式分解因式： （1） ；（2） （3）682x632491ba1)(6)2(9b5解：（1）由于 16 可以看作 ，于是有24；2268xx2)4(x（2）由幂的乘方公式， 可以看作 ， 可以看作 ，于是有a69b23)7(b；232234 7)(9ba a（3）由积的乘方公式， 可以看作 ，于是有b)(16)(21)(32 21)(a2)136(ba说明（1）多项式具有如下特征时，可以运用完全平方公式作因式分解： 可以看成是关于某个字母的二次三项式；其中有两项可以分别看作是两数的平方形式，且符号相同； 其余的一项恰是这两
13、数乘积的 2 倍，或这两数乘积 2 倍的相反数 . 而结果是“和” 的平方还是“差”的平方，取决于它的符号与平方 项前的符号是否相同. （2）在运用完全平方公式的过程中，再次体 现换元思想的 应用，可 见换元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用. 典型例题十三例 12 求证：对于任意自然数 ， 一定是 10 的倍数.n1322nn分析 欲证是 10 的倍数，看原式可否化成含 10 的因式的 积的形式.证明 132nn )()(132nn )2()3(32n013)n是 10 的倍数， 一定是 10 的倍数.)(n132nn典型例题十四例 13 因式分解（1） ； （2）ybxa22
14、nxmx2解：（1） )()(2 ybabyxa )()(2yba)(2y或 222yx；)()()(2yx22 nmxnmx1nx或 )(1 (2 )()(nmxx说明：（1）把有公因式的各项归为一组，并使 组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键所在。因此，分组分解因式要有预见性；（2）分组的方法不唯一，而合理的 选择分组方案，会使分解过程简单；（3）分组时要用到添括号法则，注意在添加 带有负号的括号 时，括号内每 项的符号都要改变；（4）实际上，分组只是为实际 分解创造了条件，并没有直接达到分解典型例题十五例 14 把下列各式分解因式：（1） ；（2） ； （3）ba2322baxax2解：（1） )()4(46)2()(2baba )12)(ba（2） 2xxx )(bax（3） )1(232 )(23xa1a或 232xax (2x或 )23 )1()(2xxa)1)(2)1(2说明：（1）要善于观察多项式中存在的公式形式，以便恰当地分 组；同时还要注意统观全局，不要一看到局部中有公式形式就匆匆分组。如，就会分解不下去了； )2()()()(2222 baxabaxbax（2）有公因式时， “首先考虑提取公因式”是因式分解中始
