《【优化方案】2014届高考数学 9.5 空间角（A、B）课时闯关（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【优化方案】2014届高考数学 9.5 空间角（A、B）课时闯关（含解析）（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、19.5 空间角（A、B） 课时闯关（含答案解析）一、选择题1(2011高考辽宁卷)如图，四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形， SD底面 ABCD，则下列结论中不正确的是()A AC SBB AB平面 SCDC SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角D AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角解析：选 D.易证 AC平面 SBD，因而 AC SB，A 正确； AB DC， DC平面 SCD，故AB平面 SCD，B 正确；由于 SA， SC 与平面 SBD 的相对位置一样，因而所成的角相同2若二面角 l 的大小为 ，直线 m ，则 所在平面内的直线与
2、m 所成 3角的取值范围是()A(0， ) B ， 2 3 2C ， D ， 6 2 6 23解析：选 C.由二面角 l 的大小为 ，直线 m ，得 m 与 所成的角的大小 3为 ，于是 所在平面内的直线与 m 所成的角的最小值为 ，而最大值为 . 6 6 23正方体 ABCD A1B1C1D1中， BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为()A. B.23 33C. D.23 63解析：选 D.如图，连结 BD 交 AC 于 O，连结 D1O，由于 BB1 DD1， DD1与平面 ACD1所成的角就是 BB1与平面 ACD1所成的角易知 DD1O 即为所求设正方体的棱长为 1，则 DD11，
3、DO ， D1O ，22 62cos DD1O .DD1D1O 26 63 BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为 .634已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AA12 AB， E 为 AA1的中点，则异面直线 BE 与CD1所成角的余弦值为()A. B.1010 152C. D.31010 35解析：选 C.如图，连结 A1B，则 A1B CD1，故异面直线 BE 与 CD1所成的角即为 BE 与A1B 所成的角设 AB a，则 A1E a， A1B a， BE a.5 2在 A1BE 中，由余弦定理得cos A1BEBE2 A1B2 A1E22BEA1B .2a2 5a2 a22
4、2a5a 310105如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB BC2， A1D 与 BC1所成的角为 ，则 BC1 2与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为()A. B.63 12C. D.155 32解析：选 B.连结 B1C，则 B1C A1D， A1D 与 BC1所成的角为 ， 2 B1C BC1，长方体 ABCD A1B1C1D1为正方体，取 B1D1的中点 M，连结 C1M， BM， C1M平面 BB1D1D， C1BM 为 BC1与平面 BB1D1D 所成的角， AB BC2， C1M ， BC12 ，2 2sin C1BM ，故选 B.C1MC1B 12二、填空题6
5、.3如图，过边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 EA平面 AC.若 EA1，则平面 ADE与平面 BCE 所成角为_解析：由二面角的平面角的定义易知 AEB 即为两个侧面所成的平面角在 EAB 中， EAB90.tan AEB ， AEB45，ABAE 11即平面 ADE 与平面 BCE 所成角为 45.答案：457(2012高考大纲全国卷)三棱柱 ABC A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1 CAA160，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为_解析：连接 A1B 交 AB1于点 O，取 A1C1的中点 D，连接 B1D、 DO. O、 D 分别为 A1B
6、、 A1C1的中点， OD BC1， DOB1或其补角即为异面直线 AB1与 BC1所成的角设各棱长为 a，则 DB1 a.32 A1AB60， OB1 AO a.32又 ，BC1 BB1 BC AA1 AC AB 2( )2 22 22 2 2BC1 AA1 AC AB AA1 AA1 AC AC AA1 AB AC AB AB a22 a2cos60 a22 a2cos602 a2cos60 a22 a2，| | a. OD BC1 a.BC1 2 12 22在 DOB1中，由余弦定理得cos DOB1 ，(32a)2 (22a)2 (32a)2232a22a 66 AB1与 BC1所成角
7、的余弦值为 .66答案：668已知 AOB90，过 O 点引 AOB 所在平面的斜线 OC，与 OA、 OB 分别成 45、60角，则以 OC 为棱的二面角 A OC B 的余弦值等于_解析：在 OC 上取一点 D，使 OD1，过 D 分别作 DE OC 交 OA 于 E， DF OC 交 OB 于F， EDF 即为二面角 A OC B 的平面角又 DE1， OE ， DF ， OF2，2 3在 Rt EOF 中， EF26，在 DEF 中，由余弦定理得 cos EDF .33答案：33三、解答题9正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1， P 是 AD 的中点，求二面角 A BD1 P
8、 的大小4解：如图所示过点 P 作 PF AD1于 F， PE BD1于 E，连结 EF.因为 AB面 AA1D1D， PF面 AA1D1D，所以 AB PF.又 PF AD1， AB AD1 A，所以 PF面 ABD1.又 PE BD1，所以 EF BD1.所以 PEF 为所求二面角的平面角易得 PB ， BE ，所以 PE .52 32 22又 PF PA ，所以 sin PEF ，22 24 PFPE 12所以 PEF30，即二面角 A BD1 P 的大小为 30.10(2012高考四川卷)如图，在三棱锥 PABC 中， APB90， PAB60，AB BC CA，点 P 在平面 ABC
9、 内的射影 O 在 AB 上(1)求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小；(2)求二面角 BAPC 的大小解：法一：(1)如图(1)，连结 OC.由已知， OCP 为直线 PC 与平面 ABC 所成的角图(1)设 AB 的中点为 D，连结 PD、 CD.因为 AB BC CA，所以 CD AB.因为 APB90， PAB60，所以 PAD 为等边三角形不妨设 PA2，则 OD1， OP ， AB4.3所以 CD2 ， OC .3 OD2 CD2 1 12 13在 Rt OCP 中，tan OCP .OPOC 313 3913故直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小为 arctan .
10、3913(2)过 D 作 DE AP 于 E，连结 CE.由已知可得， CD平面 PAB.根据三垂线定理知， CE PA.所以 CED 为二面角 BAPC 的平面角由(1)知， DE .3在 Rt CDE 中，tan CED 2.CDDE 233故二面角 BAPC 的大小为 arctan 2.5图(2)法二：(1)设 AB 的中点为 D，连结 CD.因为 O 在 AB 上，且 O 为 P 在平面 ABC 上的射影，所以 PO平面 ABC.所以 PO AB，且 PO CD.由 AB BC CA，知 CD AB.设 E 为 AC 的中点，则 EO CD，从而 OE PO， OE AB.如图(2)，
11、以 O 为坐标原点， OB、 OE、 OP 所在直线分别为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz.不妨设 PA2，由已知可得，AB4， OA OD1， OP ， CD2 .3 3所以 O(0,0,0)， A(1,0,0)， C(1,2 ，0)， P(0,0， )3 3所以 (1，2 ， )，而 (0,0， )为平面 ABC 的一个法向量CP 3 3 OP 3设 为直线 PC 与平面 ABC 所成的角，则 sin .|CP OP CP |OP | | 0 0 3163| 34故直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小为 arcsin .34(2)由(1)知， (1,0， )， (2,
12、2 ，0)AP 3 AC 3设平面 APC 的一个法向量为 n( x1， y1， z1)，则Error!Error!Error!从而Error!取 x1 ，则 y11， z11，所以 n( ，1,1)3 3设二面角 BAPC 的平面角为 ，易知 为锐角而平面 ABP 的一个法向量为 m(0,1,0)，则cos .|nm|n|m| | 13 1 1| 55故二面角 BAPC 的大小为 arccos .5511. (探究选做)如图， AB 为圆 O 的直径，点 E、 F 在圆 O 上， AB EF，矩形 ABCD 所在平面和圆 O 所在的平面互相垂直已知 AB2， EF1.(1)求证：平面 DAF
13、平面 CBF；(2)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小；(3)当 AD 的长为何值时，二面角 D FE B 的大小为 60？解：(1)证明：平面 ABCD平面 ABEF， CB AB，平面 ABCD平面 ABEF AB， CB平面 ABEF. AF平面 ABEF， AF CB.又 AB 为圆 O 的直径， AF BF， AF平面 CBF. AF平面 ADF，平面 DAF平面 CBF.6(2)根据(1)的证明，有 AF平面 CBF， FB 为 AB 在平面 CBF 上的射影，因此， ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角 AB EF，四边形 ABEF 为等腰梯形，过点 F 作 F
14、H AB，交 AB 于 H.AB2， EF1，则 AH .AB EF2 12在 Rt AFB 中，根据射影定理 AF2 AHAB，得 AF1，sin ABF ，AFAB 12 ABF30，直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30.(3)过点 A 作 AM EF，交 EF 的延长线于点 M，连结 DM.根据(1)的证明， DA平面 ABEF，则 DM EF， DMA 为二面角 D FE B 的平面角， DMA60.在 Rt AFH 中， AH ， AF1， FH .12 32又四边形 AMFH 为矩形， MA FH .32 AD MAtan DMA .32 3 32因此，当 AD 的长为 时，二面角 D FE B 的大小为 60.32
