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1、M推理与证明M1合情推理与演绎推理12M12012陕西卷 观察下列不等式1 ，122321 ，122 132 531 ，122 132 142 74照此规律，第五个不等式为_121 解析 本小题主要考查了归纳与推理的能力，解题122 132 142 152 162116的关键是对给出的几个事例分析，找出 规律，推出所要的 结 果从几个不等式左边分析，可得出第五个式子的左边为：1 ，对几个不等式右 边分析，其分母依次 为：122 132 142 152 1622,3,4，所以第 5 个式子的分母 应为 6，而其分子依次 为： 3,5,7，所以第 5 个式子的分子应为11，所以第 5 个式子应为：
2、1 .122 132 142 152 16211616M12012湖南卷 对于 nN *，将 n 表示为na k2ka k1 2k1 a121a 020，当 ik 时，a i1，当 0ik1 时，a i为 0或 1.定义 bn如下：在 n 的上述表示中，当 a0，a 1，a 2，a k中等于 1 的个数为奇数时，bn1；否则 bn0.(1)b2b 4b 6b 8_；(2)记 cm为数列b n中第 m 个为 0 的项与第 m1 个为 0 的项之间的项数，则 cm的最大值是_16(1)3(2)2解析 本题以二进制为依据考查数列推理，意在考查考生的逻辑推理能力，具体的解题思路和过程：由前几 项的结果
3、，得出 规律(1)由 22 1010 (2)易知 b21,412 202 102 0100 (2)可知 b41，同 样可知b60，b 81，所以 b2b 4b 6b 83；(2)任何一个二进制的数，当 1 的个数为奇数的时候，连续的这样的数最多只有两个，所以 cm的最大值 是 2.易错点 本题易错一：推理能力不行，无法找到规律，导致无从下手；易错二：发现不了数列与二进制的关联，导致第(2)问无从下手17M12012湖北卷 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图 16 所示的三角形数：图 16将三角形数 1,3,6,10，记为数列a n，将可被 5 整除的
4、三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列b n可以推测：(1)b2 012 是数列a n中的第_项；(2)b2k1 _.(用 k 表示)17答案 (1)5 030(2)5k5k 12解析 由以上规律可知三角形数 1,3,6,10，的一个通项 公式为 an ，写出其若nn 12干项来寻找规律：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，其中能被 5 整除的为10,15,45,55,105,120，即 b1a 4，b2a 5，b3a 9，b4a 10，b5a 14，b6a 15.由上述规律可猜想： b2ka 5k (k 为正整数) ，5k5k 12b2k1
5、 a5k1 ，故 b2 012a 21 006a 51 006a 5 030，即 b2 5k 15k 1 12 5k5k 12012 是数列a n中的第 5 030 项20C1、M12012福建卷 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213cos 217sin13cos17；(2)sin215cos 215sin15cos15；(3)sin218cos 212sin18cos12；(4)sin2(18)cos 248sin(18)cos48 ；(5)sin2(25)cos 255sin(25)cos55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(
6、2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论20解：解法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin215cos 215sin15cos151 sin30121 .14 34(2)三角恒等式为 sin2cos 2(30)sincos(30a) .34证明如下：sin2cos 2(30) sin cos(30)sin 2(cos30cos sin30sin) 2sin(cos30cossin30sin )sin 2 cos2 sincos sin2 sincos sin234 32 14 32 12 sin2 cos2 .34 34 34解法二：(1)同解法一(2)三角恒
7、等式为 sin2cos 2(30)sincos(30) .34证明如下：sin2cos 2(30) sin cos(30) sin(cos30cossin30sin )1 cos22 1 cos60 22 cos2 (cos60cos2sin60sin2) sincos sin212 12 12 12 32 12 cos2 cos2 sin2 sin2 (1cos2 )12 12 12 14 34 34 141 cos2 cos2 .14 14 14 345M12012江西卷 观察下列事实：|x| |y| 1 的不同整数解(x，y) 的个数为4，| x| |y|2 的不同整数解( x，y) 的
8、个数为 8，| x| y|3 的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x| | y|20 的不同整数解( x，y) 的个数为()A76 B80 C86 D925B解析 个数按顺序构成首项为 4，公差为 4 的等差数列，因此| x|y|20 的不同整数解( x，y)的个数为 44(20 1) 80，故选 B.M2直接证明与间接证明23D5、M22012上海卷 对于项数为 m 的有穷数列a n，记bkmax a1，a 2，a k(k 1,2，m )，即 bk为 a1，a 2，a k中的最大值，并称数列bn是 an的控制数列如 1,3,2,5,5 的控制数列是 1,3,3,5,5.(1)若各项均为正
9、整数的数列 an的控制数列为 2,3,4,5,5，写出所有的a n；(2)设b n是 an的控制数列，满足 akb mk1 C(C 为常数，k1,2，m)，求证：bka k(k1,2， ，m) ；(3)设 m100，常数 a .若 anan 2(1) n， bn是a n的控制数列，求(12，1) nn 12(b1a 1)( b2 a2)(b 100a 100)23解：(1)数列a n为：2,3,4,5,1 或 2,3,4,5,2 或 2,3,4,5,3 或 2,3,4,5,4 或 2,3,4,5,5.(2)因为 bkmax a1，a2，ak，bk1 max a1，a2，ak，ak1 ，所以 b
10、k 1b k.因为 ak bmk 1 C ，ak1 b mk C ，所以 ak 1a k bmk1 b mk 0，即 ak1 a k.因此，b ka k.(3)对 k1,2，25，a4k3 a(4k3) 2(4k3)；a4k2 a(4k2) 2(4k2)；a4k1 a(4k1) 2(4k1)；a4ka(4k) 2(4k)比较大小，可得 a4k2 a 4k3 .因为 a1，所以 a4k1 a 4k2 ( a1)(8k3)0，即 a4k2 a 4k1 .12a4ka 4k2 2(2a1)(4 k1)0，即 a4ka 4k2 .又 a4k a4k1 .从而 b4k3 a 4k3 ，b4k2 a 4k
11、2 ，b4k1 a 4k2 ，b4ka 4k.因此(b 1a 1)( b2a 2)(b 100a 100)(a 2a 3)(a 6a 7)(a 98a 99) (a4k2 a 4k1 )25k 1(1a) (8k3)2525(1a)25k 122B12、M2 2012湖南卷 已知函数 f(x)e xax，其中 a0.(1)若对一切 xR，f(x)1 恒成立，求 a 的取值集合；(2)在函数 f(x)的图象上取定两点 A(x1，f(x 1)，B( x2，f(x 2)(x1x 2)，记直线 AB 的斜率为k，证明：存在 x0(x 1，x 2)，使 f( x0)k 成立22解：(1)f( x)e x
12、a.令 f(x)0 得 xlna.当 xlna 时，f( x)0，f(x)单调递 减；当 xlna 时， f(x)0，f(x) 单调递增故当 xln a 时， f(x)取最小值 f(lna)a alna.于是对一切 xR，f(x)1 恒成立，当且仅当aalna1. 令 g(t)ttlnt，则 g(t) lnt .当 0t1 时，g(t)0，g(t)单调递增；当 t1 时，g(t)0，g(t) 单调递减故当 t1 时，g(t)取最大值 g(1)1.因此，当且仅当 a1 时，式成立综上所述，a 的取值集合为1(2)由题意知，k a.fx2 fx1x2 x1 ex2 ex1x2 x1令 (x) f(
13、 x)ke x ，则ex2 ex1x2 x1(x1) ex2x 1(x 2x 1)1 ，ex1x2 x1(x2) ex1x 2(x 1x 2)1 ex2x2 x1令 F(t)e tt1，则 F(t) et1.当 t0 时，F(t) 0， F(t)单调递减；当 t0 时，F(t) 0， F(t)单调递增故当 t0 时，F(t) F(0) 0，即 ett10.从而 ex2x 1 (x2x 1)10， ex1x 2( x1x 2)10，又 0， 0，ex1x2 x1 ex2x2 x1所以 (x1)0， (x2)0.因为函数 y(x )在区间x 1，x2上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在 x0(x1，x2)，使 (x0)0，即 f(x 0)k 成立M3 数学归纳法M4 单元综合23M42012江苏卷 设集合 Pn1,2 ，n，nN *.记 f(n)为同时满足下列条件的集合 A 的个数：AP n；若 xA，则 2xA；若 xP nA，则 2xPnA.(1)求 f(4)；(2)求 f(n)的解析式(用 n 表示)23解：(1)当 n4 时，符合条件的集合 A 为：2， 1,4，2,3，1,3,4，故 f(4)4.(2)任取偶数 xPn，将 x 除以 2，若商仍为偶数，再除以 2，经过 k 次以后，商必为奇数，此时记商为
