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1、D数列D1 数列的概念与简单表示法21D1、D3、E1、M3 2012重庆卷 设数列a n的前 n 项和 Sn 满足 Sn1 a 2Sna 1，其中 a20.(1)求证：a n是首项为 1 的等比数列；(2)若 a21，求证：S n (a1a n)，并给出等号成立的充要条件n221解：(1)证法一：由 S2a 2S1a 1 得 a1a 2a 2a1a 1，即 a2a 2a1.因 a20，故 a11，得 a 2.a2a1又由题设条件知Sn2 a 2Sn1 a 1，Sn1 a 2Sna 1，两式相减得 Sn2 S n1 a 2(Sn1 S n)，即 an2 a 2an1 ，由 a20，知 an1
2、0，因此 a 2.an 2an 1综上， a 2对所有 nN*成立，从而 an是首项为 1，公比为 a2 的等比数列an 1an证法二：用数学归纳法证明 ana ，nN*.n 12当 n1 时，由 S2a 2S1a 1，得 a1a 2a 2a1a 1，即 a2a 2a1，再由 a20，得 a11，所以结论成立假设 nk 时，结论成立，即 aka ，那么k 12当 nk1 时，a k1 S k1 S k( a2Ska 1)( a2Sk1 a 1)a 2(SkS k1 )a 2aka ，k2这就是说，当 nk 1 时，结论也成立综上可得，对任意 nN*，ana .因此a n是首项为 1，公比为 a
3、2 的等比数列n 12(2)当 n1 或 2 时， 显然 Sn (a1a n)，等号成立n2设 n3，a 21 且 a20，由(1)知 a11，a na ，所以要证的不等式化为n 121a 2a a (1 a )(n3)，2 n 12n2 n 12即证：1a 2a a (1a )(n2)2 n2n 12 n2当 a21 时，上面不等式的等号成立当1a 21 时，a 1 与 a 1(r1,2， n1) 同为负 ；r2 n r2当 a21 时，a 1 与 a 1(r1,2， n1) 同为正r2 n r2因此当 a21 且 a21 时，总有(a 1)(a 1) 0，即r2 n r2a a 1a (r
4、1,2，n1)r2 n r2 n2上面不等式对 r 从 1 到 n1 求和得2(a2a a )( n1)(1a )，2 n 12 n2由此可得 1a 2a a (1a )2 n2n 12 n2综上，当 a21 且 a20 时 ，有 Sn (a1a n)，当且仅当 n1,2 或 a21 时等号成立n2证法二：当 n1 或 2 时，显然 Sn (a1a n)，等号成立当 a21 时， Snn (a1a n)，n2 n2等号也成立当 a21 时，由(1)知 Sn ，ana ，下 证：1 an21 a2 n 12 (1a )(n3，a 21 且 a21) 1 an21 a2 n2 n 12当1a 21
5、 时，上面不等式化 为(n2)a na 2na n2(n3) n2 n 12令 f(a2)(n2)a na 2na .n2 n 12当1a 20 时，1a 0，故n 22f(a2)(n2)a na 2(1a )(n2)|a 2|nn2，n2 n 22即所要证的不等式成立当 0a 21 时，对 a2 求导得 f(a 2)n(n2)a ( n1)a 1 ng(a 2)n 12 n 22其中 g(a2)(n2)a (n1)a 1，则 g(a 2)(n 2)( n1)(a 21) a 0，n 12 n 22 n 32即 g(a2)是(0,1)上的减函数，故 g(a2)g(1)0，从而 f( a2)ng
6、( a2)0，进而 f(a2)是(0,1)上的增函数，因此 f(a2)f(1) n 2，所要证的不等式成立当 a21 时，令 b ，则 0b1，由已知的结论知1a2 ，1 (1a2)n1 1a2 n21 (1a2)n 1两边同时乘以 a 得所要证的不等式n 12综上，当 a21 且 a20 时 ，有 Sn (a1a n)，当且仅当 n1,2 或 a21 时等号成立n223M2、D12012上海卷 对于数集 X1，x 1，x 2，x n，其中0x 1x 2x n，n2，定义向量集 Ya|a(s，t)， sX，tX ，若对任意 a1Y ，存在 a2Y，使得 a1a20，则称 X 具有性质 P，例如
7、 1,1,2具有性质 P.(1)若 x2，且1,1,2，x具有性质 P，求 x 的值；(2)若 X 具有性质 P，求证：1X，且当 xn1 时，x 11；(3)若 X 具有性质 P，且 x11、x 2q(q 为常数)，求有穷数列 x1，x 2，x n 的通项公式23解：(1)选取 a1(x, 2)，Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 (1，b)，所以 x2b，从而 x4.(2)证明：取 a1(x 1，x1)Y，设 a2( s，t)Y，满足 a1a20.由(st)x 10 得 st 0，所以 s，t 异号因为1 是 X 中唯一的负数，所以 s，t 之中一个为1，另一个为 1，故 1X.假设 xk
8、1，其中 1k n，则 0x 11x n.选取 a1(x 1，xn)Y，并设 a2( s，t)Y 满足 a1a20，即 sx1tx n0，则 s，t 异号，从而 s，t 之中恰有一个为1.若 s1，则 x1tx ntx 1，矛盾；若 t1，则 xnsx 1s x n，矛盾所以 x11.(3)设 a1(s 1，t1)，a2(s 2，t2)，则 a1a20 等价于 ，s1t1 t2s2记 BError!，则数集 X 具有性质 P 当且仅当数集 B 关于原点对称注意到1 是 X 中的唯一负数，B( ， 0)x 2， x3，x n共有 n1 个数，所以 B(0， )也只有 n1 个数由于 ，已有 n1
9、 个数，对以下三角数阵xnxn 1 xnxn 2 xnx2 xnx1 ，xnxn 1 xnxn 2 xnx2 xnx1 ，xn 1xn 2 xn 1xn 3 xn 1x1.x2x1注意到 ，所以 ，从而数列的通项为xnx1 xn 1x1 x2x1 xnxn 1 xn 1xn 2 x2x1xkx 1 k1 qk1 ，k1,2， ，n.(x2x1)7D2、E12012 浙江卷 设 Sn 是公差为 d(d0)的无穷等差数列a n的前 n 项和，则下列命题错误的是()A若 d0D若对任意 nN *，均有 Sn0，则数列 Sn是递增数列7C解析 本题考查等差数列的通项、前 n 项和，数列的函数性质以及不
10、等式知识，考查灵活运用知识的能力，有一定的 难度法一：特值验证排除选项 C 显然是错的，举出反例：1，0,1,2,3，满足数列S n是递增数列，但是 S n0 不恒成立法二：由于 Snna 1 d n2 n，根据二次函数的图象与性质知当 d0，但对任意的 nN*，Sn0 不成立，即选项 C 错误；反之，选项 D 是正确的；故应选 C.点评 等差数列的求和公式与二次函数的图象的关系是解决本 题的重要依据图 12D2 等差数列及等差数列前 n 项和6D22012辽宁卷 在等差数列 an中，已知 a4a 816，则该数列前 11 项和 S11( )A58 B88C143 D1766B解析 本小题主要
11、考查等差数列的性质和求和公式解题的突破口为等差数列性质的正确应用由等差数列性质可知，a 4a 8a 1a 1116， S11 88.11a1 a1125D22012全国卷 已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 55，S 515，则数列的前 100 项和为()1anan 1A. B.100101 99101C. D.99100 1011005A解析 本小题主要考查等差数列的前 n 项和公式与裂项相消求和法，解题的突破口为等差数列前奇数项和与中间项的关系及裂项相消求和法由 S55a 3 得 a33，又 a55 ，所以ann. ， 1anan 1 1nn 1 1n 1n 1 1a1a2 1a
12、2a3 1a100a101 11 12 12 13 1100 1 ，故选 A.1101 1101 10010110D22012北京卷 已知a n为等差数列，S n 为其前 n 项和，若 a1 ，S 2a 3，则12a2_.101解析 本题考查等差数列基本公式和基础运算，设等差数列 an的公差为 d，由 S2a 3 可得，a 1a 3a 2 d ，所以 a22d2 1.12 122D22012福建卷 等差数列 an中，a 1a 510，a 47，则数列 an的公差为()A1 B2 C3 D42B解析 根据已知条件得： Error! 即Error! 解得 2d4，所以 d2.所以选择 B.11D2
13、2012广东卷 已知递增的等差数列a n满足 a11，a 3a 4，则2an_.112n1解析 设等差数列的公差为 d，由于数列是递增数列，所以d0，a3a 12 d12d，a 2a 1d1d，代入已知条件：a 3a 4 得：12d(1d)224， 解得 d24，所以 d2( d2 舍去) ，所以 an1( n1)22n1.12B3、D22012 四川卷 设函数 f(x)2xcos x， an是公差为 的等差数列，f(a 1)8f(a 2)f( a5)5，则f( a3)2a 1a5( )A0 B. 2116C. 2 D. 218 131612D解析 设 a3 ，则 a1 ，a2 ，a4 ，a5 ，4 8 8 4由 f(a1)f(a 2)f(a 5)5，得 25cos cos coscos cos 5 ，( 4) ( 8) ( 8) ( 4)即 10( 1)cos5.2 2 2当 0 时，左边是 的增函数，且 满足等式；2当 时，10 10，而( 1)cos5cos 5，等式不可能成立；2 2 2当 0 时，100，而( 1)cos 5，等式也不可能成立2 2 2故 a3 .2f(a3)2a 1a5 2 2.( 4
