三角形内角和定理

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1、- 1 -三角形内角和定理中小学两个学段都对三角形内角和进行了精彩的探究。本人从事数学教学 10 余年，通过参加或参评公开课、说课比赛，数十次与三角形内角和结缘，回味无穷，感触良多。课改后的人教版教材，以生动活泼的呈现方式，激发兴趣和美感，引发学习激情；以恰时恰点的问题引导数学活动，培养问题意识，孕育创新精神；螺旋上升地安排核心数学概念和重要数学思想，加强数学思想方法的渗透与概括；通过不同数学内容的联系与启发，强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，提高数学思维能力；以具有时代性和现实感的素材创设情境，加强数学活动，发展应用意识。但也出现负担过重、难点集中等主要问题。为此，对内角和的探究

2、和证明，我曾经作了如下尝试。第一种尝试：通过复习平行线的性质入手，直接引出证明的问题，然后引导学生探索几种定理的证明方法。如图 1（1） ，已知：直线上有一点 A，过点 A 作射线 AM、AN，1、若DAM=30，EAN=70，则1 等于多少度，为什么？2、若在 AM 上任取一点 B，过点 B 作 BCDE 交 AN 于点 C 如图 1（2） ，则：（1）2 等于多少度？为什么？NM7030 1ED A图1（1）NM7030321EDCAB图1（2）- 2 -（2）3 等于多少度？为什么？（3）1+2+3 等于多少度？为什么？从实施的情况来看，效果较好。由于学生刚学习相交线与平行线的知识，对这

3、部分内容较熟悉，很顺利地调动学生学习的兴趣，同时求3 的度数时从两个方面引导学生正确求出3 的度数，方法一：利用两直线平行内错角相等；方法二：利用两直线平行同旁内角互补；并板书：平行同旁内角互补。这样不仅是对知识点的复习，而且是对后面求证三角形的内角和是 180 度做好铺垫，学生会很容易想到，平角 180 度或两直线平行，同旁内角互补，故而会想到作平行线来解决问题。当学生完成第（3）小题时提出问题：1、2、3 是三角形的什么角？这三个角有什么关系？学生很自然想到小学学习过的三角形内角和等于 180 度，借此机会教育学生研究问题要有一个严谨的科学态度，在课本的第五章相交线与平行线学习时我们已知一

4、个命题是否成立，不能只靠拼一拼，量一量，必须经过推理证明，很自然引导学生思考如何证明“三角形内角和等于 180 度” ，明确本节课的学习重点。如何证明？从何入手呢？由于在复习时特别板书：（1）平角180 度；（2）平行同旁内角互补（180 度） ，此时学生很快从前面的复习中想到平角 180 度，想办法将三个角拼成一个平角，考虑能否搬动两个角与第三个角放在起拼成 180 度？由于有了前面的铺垫这里的教学比较顺利，学生很快想到将B 搬到1 位置上（如图- 3 -图 1 图 24321FED AB C1） ，即过 A 作 AD 平行 BC，然后将反向延长 AD，由于 DE 平行 BC，所以3=C，因

5、为1+2+3=180，所以B+2+C=180，因此，定理得到证明。教师指导学生从不同角度思考,添加辅助线,解决证明疑难. 作辅助线时，要遵循能够利用前面所学的有关性质、定理进行后续推理的原则。于是就有了如图 1、图 3 等证法（利用两直线平行,同旁内角互补）. 第二种尝试：回顾小学三角形内角和结论，通过操作感悟、推理论证，研究三角形内角和定理。1、操作感悟通过操作实验：我们还可以把三角形纸片中的两个角剪下来，拼在第三个角的顶点处，得到一个平角，所以三角形的三个内角加起来一共是 180。感知“三个内角的位置可以转化”、“180可以化归为平角”，为引导学生用“转化”的思想来思考问题。图 1 图 2

6、图 3- 4 -（图 1、2 是教材示例方法）图 3 图 42、推理论证引导学生参照操作成果，自发地运用“转化”的思想来思考问题：“180可以化归为平角”、“三个内角的位置可以借用平行线转移”。得到其中三种证明方法。让学生进一步熟悉几何推理论证的表达方式，磨练学生的逻辑思维能力和符号感。鼓励一题多解，锻炼学生的发散思维能力。这节课回顾引入环节实施得较为成功，因为从学生熟悉的知识入手，学生较易进入状态，消除对新知识的陌生感，引起学习的兴趣，而且问题也设置得较好，层层推进，从而引导学生从拼合的方法方面来证明这个定理。然而在引导学生做辅助线时， 很多学生不太明白平行线可以平移角的功能。由于他们是初一

7、的学生，在几何证明题方面不论是逻辑思维还是几何语言方面的表达上，都存在着相当大的困难，他们很多证明过程都是模仿着老师的做法的，但由于高估了小组讨论的图 5EDCBA图 7DCBA图 6D ECBA- 5 -效果，所以我并没有将完整的证明过程给出来，只是让几个学生讲一讲自己的思路、证法，这样做使得大部分的中下水平学生到了最后还是不明白具体应该怎样证明。以上两种尝试设计都实现了课程改革中“以学生的发展为本”的基本理念，充分结合学生的生活经验和已有的知识体验，遵循学生认知的心理规律，对问题精心设计，关注细节，切入关键点，激发学生的学习热情，进而优化课堂教学，促进学生的发展。前者注重思考探索,重在思维

8、中获得学习的快乐，不拘泥于原教材的内容安排，对教学内容进行了重组和加工，符合学生的思考探求规律；后者注重学生动手实践，思索探索，让学生从活动中找到快乐。第三种尝试。如何把以上两种设计的优点融合一起？活动一、做一做1求下面的直角三角形中未知角的度数： _； _12你用到了那个结论？（提问口述）2. 如图 2，已知：直线 AB、AC、BC 分别相交于点 A、B、C，过点 A的直线 DEBC，DAM=30，MAN=70.则：（1）1= 度，根据 ；（2）2= 度，根据 ；2601 45 图 1- 6 -（3）3= 度，根据 。意图：第 1 题让学生直接回忆小学所学的三角形内角和 180的结论，第 2

9、 题复习平行线性质，同时让学生感知内角和 180，平角180，同旁内角 180三者之间的联系，课堂上教师需点明，为后续学习做好铺垫。活动二、想一想问题 1：你是怎么知道：三角形的三个内角和等于 180 度的？问题 2：能否只搬动一个角就可以说明三角形的三个内角和等于180 度？请你也来剪一剪、拼一拼。图 3图 4 图 5意图：在小学是通过测量实验和剪拼实验得到：把三角形纸片中的两个角剪下来，拼在第三个角的顶点处，得到一个平角。此处引导学生回忆通过剪拼实验得出结论的学习过程，进一步提升要求，运用所学平行线知识，只剪一次就可说明结论成立。这样做目的明确，只要学生能得到图 3、图 4 的情形即可达到

10、目的，能提供典型例证，教师给学生以如何感知、操作的指导，让学生自己概括得出结论，能较好体现数学思维的要求。- 7 -ED 3 21 AB CED32 1AB C问题 3：若将C 搬到1 位置，如图 6 所示，则你又如何证明A+B+C=180?意图：学生可能会有不同剪拼，一般较容易得出图 3、图 4 的情形，这些情形本质一样，可根据学生实际任取一种，画出图形进行引导证明，给出规范证明（学生程度好可独立证明，程度稍差，可填空证明） 。如果学生能够有图 5 的情形，则拿出展示相对应证明，若没有，则出示问题 4.问题 4：在图 6 中，如果延长 BA 或延长 CA 或延长 DA，得到的情形怎样用另一种

11、方法去证明了？意图：让学生知道辅助线不仅来源于实验，而且在数学中可以通过想象充分拓展辅助线，从而为解决问题提供方便，进一步让学生对运用辅助线来证明定理有更进一步认识。同时也弥补了学生可能没有出现图 5 的剪拼情形的不足。此处的规范证明可留在课后，并抓住介绍利用平行线作辅助线的方法，引出图 10 的证法，及时抛给学生了解方法，但不做深入分析。为例题的讲解做好铺垫。图 8图 6图 7 图 9图 104321FED AB CED北北BAC图 11- 8 -北 北ECBFDA活动三、用一用问题：如图 11，C 岛在 A 岛的北偏东 50 度方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80 度方向，C 岛在 B 岛

12、的北偏西 40 度方向，从 C 岛看 A、B 两岛的视角ACB 是多少度？设计意图：此题是课本原有的例题，但对于初一学生学习有一定困难，教学中引导学生分析，要想求ACB 的度数，先已知什么？培养学生的分析能力，同时加强推理能力的培养，让三角形内角和定理用到生活实际中，同时让学生理顺几何证明题的分答案。此处重思路形成和说理。析思路及证明题的书写格式，培养书写的条理性，为今后学习几何做好准备。学生独立完成，教师巡视，及时帮助学习困难的学生，学生完成后，展示个别学生的解法一：(课本解法): 解法二：师生共同讨论,给出解法二: 过点 C 作 CFBE, ADBE(已知), CFBE (辅助线作法) A

13、DCF (如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行) ACF=CAD=50, BCF=CBE=40 (两直线平行,内错角相等) ACB=ACF+BCF=CAD+CBE=50+40 =90. 活动四：说一说- 9 -问题：今天我们学习什么内容？你有什么收获？让我们分享吧！设计意图：通过总结回忆，让学生加深对三角形内角和定理的进一步认识。活动 5：练一练（课外作业）第 1 题：课本第 74 页练习题中的第 2 小题。如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形 ABCD，其中A=150 度，B=D=40 度，求C 的度数。意图：这是课本中的习题，此题需用到等腰三角形、直角三角形知识以及

14、三角形内角和定理。第 2 题： 选择一种证明三角形内角和定理的辅助线方法，给予证明。意图：加强学生的推理能力。设计理念：根据学生数学思维发展水平和认知规律，数学知识的发生发展过程设计课堂教学进程，以问题引导学习，尽量采用“归纳式” ，让学生经历概括过程，引导学生通过类比、联想、推广、特殊化等思维活动，促使他们找到研究的问题，形成研究的方法，促进他们在建立知识之间内在联系的过程中领悟本质。而教师在教学实施过程中最重要的是要让学生有自己积极地、独立地进行数学思考的空间。根据数学知识的认知需要，为学生设置恰当的教学情景，通过恰时恰点的问题引导学生的学习活动，充分使用“先行组织者” ，在思想方法上多做引导，在具体细节上让学生自己多动手做、多阅读、多思考、多交流，让学生多发表意见，1504040BCDA第 1 题- 10 -教师自己参与到学生的活动中去，多听少讲，在关键点上让学生有机会提出自己的见解。总之，教学的设计过程、实施过程、反思过程，是一个实实在在的教学研究过程。台上一分钟，台下十年功，在教学中研究，在研究中教学，是每一位教师的成长过程，也是每一位教师的自我实现过程。