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1、选修 45不等式选讲1两个实数大小关系的基本事实ab_；ab_；ab，那么_ ；如果_，那么 ab.即 ab_.(2)传递性：如果 ab，bc ，那么 _(3)可加性：如果 ab，那么_ (4)可乘性：如果 ab，c0 ，那么 _；如果 ab，cb0，那么 an_bn(nN ，n1)(6)开方：如果 ab0，那么 _ (nN，n1)na nb3绝对值三角不等式(1)性质 1：|ab|_.(2)性质 2：|a| | b|_.性质 3：_|ab| _.4绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式| x|a 的解集不等式 a0 a0 aa(2)|ax b|c (c 0)和|ax b| c ( c0)型
2、不等式的解法|ax b| c_；|ax b| c_.(3)|xa |xb|c 和| xa| |xb| c 型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想5基本不等式(1)定理：如果 a，bR，那么 a2b 22ab，当且仅当 ab 时，等号成立(2)定理(基本不等式 )：如果 a，b0，那么 _ ，当且仅当_时，等号成a b2 ab立也可以表述为：两个_的算术平均_它们的几何平均(3)利用基本不等式求最值对两个正实数 x，y ，如果它们的和 S 是定值，则当且仅当_时，它
3、们的积 P 取得最_值；如果它们的积 P 是定值，则当且仅当_时，它们的和 S 取得最_值6三个正数的算术几何平均不等式(1)定理如果 a，b，c 均为正数，那么 _ ，当且仅当_时，等号a b c3 3abc成立即三个正数的算术平均_它们的几何平均(2)基本不等式的推广对于 n 个正数 a1，a 2，a n，它们的算术平均_它们的几何平均，即_ ，a1 a2 ann na1a2an当且仅当_时，等号成立7柯西不等式(1)设 a，b，c，d 均为实数，则(a 2b 2)(c2d 2)(acbd) 2，当且仅当 adbc 时等号成立(2)设 a1，a 2，a 3，a n，b 1，b 2，b 3，
4、b n是实数，则 (a a a )(b b b21 2 2n 21 2)(a 1b1a 2b2a nbn)2，当且仅当 bi0(i1,2，n) 或存在一个数 k，使得2naikb i(i1,2， ，n)时，等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设 ， 是两个向量，则| |，当且仅当 是零向量，或存在实数 k，使 k 时，等号成立8证明不等式的方法(1)比较法求差比较法知道 abab0 ，ab，只要证明_即可，这种方法称为求差比较法求商比较法由 ab0 1 且 a0，b0，因此当 a0，b0 时要证明 ab，只要证明_即可，这ab种方法称为求商比较法(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的
5、_，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等 )这种证法称为分析法，即 “执果索因”的证明方法(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式_的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地_，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立(6)数学归纳法设P n是一个与自然数相关的命题集合，如果
6、：(1)证明起始命题 P1(或 P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出 Pk1 也成立，那么可以断定P n对一切自然数成立1不等式|2x1| x2|0，且 abbcca 1.求证：(1)abc ；3(2) ( )abc bac cab 3 a b c绝对值不等式的解法典例：(10 分) 解不等式|x1|x 1|3.思维启迪本题不等式为|x a|xb| c 型不等式，解此类不等式有三种方法：几何法、分区间(分类) 讨论法和图象法规范解答解方法一如图所示，设数 轴上与1,1 对应的点分别为 A，B，那么 A，B 两点的距离和为2，因此区间1,1上的数都不是不等式的解设在 A 点左侧有一点
7、A1，到 A，B 两点的距离和为 3，A1对应数轴上的 x.4 分1x1x 3，得 x .32同理设 B 点右侧有一点 B1 到 A，B 两点距离之和为 3，B1对应数轴上的 x，x1x(1)3.x .32从数轴上可看到，点 A1，B1 之间的点到 A，B 的距离之和都大于 3；点 A1 的左边或点 B1 的右边的任何点到 A，B 的距离之和都大于 3.8 分所以原不等式的解集是 .10 分( ， 32 32， )方法二当 x1 时，原不等式可化为(x1)(x 1)3，解得：x .3 分32当10 ，求证：2a 3b 32ab 2a 2b.3若 a、b、c 均为实数，且 ax 22y ，by
8、22z ，cz 22x .求证：a、b、c 中2 3 6至少有一个大于 0.4(2013课标全国)设 a、 b、c 均为正数，且 abc1，证明：(1)abbcac ；(2)13 1.a2b b2c c2a5设不等式|2x 1|1，且当 x 时，f(x) g(x)，求 a 的取值范围 a2，12)3(2012福建)已知函数 f(x)m |x2| ，mR ，且 f(x2)0 的解集为1,1(1)求 m 的值；(2)若 a，b，cR ，且 m，求证：a2b3c9.1a 12b 13c4设 a，b，c 为正实数，求证： abc 2 .1a3 1b3 1c3 3 答案要点梳理1ab0ab0abc(3)
9、acbc(4)acbc ac(6)3(1)| a|b|(2)|ab|a| |b| |a| b|4(1)x| aa 或 x0 1(2)充分条件ab(4)相反(5)放大或缩小夯基释疑1x| 1 bc题型分类深度剖析例 1 解(1)当 a3 时，f (x)Error!当 x2 时，由 f(x)3 得2x53，解得 x1；当 25；当3x2 时，g( x)5；当 x2 时，g( x)5.综上可得，g(x)的最小值为 5.从而，若 f(x)f(x5)m，即 g(x)m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为(，5方法二(1)同方法一(2)当 a2 时，f( x)|x 2|.设 g(x)f(x) f
10、(x 5) 由|x 2|x3|( x2)(x3)|5(当且仅当3x2 时等号成立)，得 g(x)的最小值为 5.从而，若 f(x)f(x5)m，即 g(x)m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为(，5例 2 证明由于 2xy ( x) ( y)，23 3 12 2由柯西不等式(a 1b1a 2b2)2(a a )(b b )得21 2 21 2(2xy) 2( )2( )2(3x22y 2)23 12( )6 611，43 12 116|2 xy| ，2x y .11 11跟踪训练 2解由柯西不等式(3 24 2)(x2y 2)(3x4y) 2，得 25(x2y 2) 4，所以 x2
11、y 2 .425不等式中当且仅当 时等号成立， x2y 2 取得最小值，x3 y4由方程组Error!解得Error!因此当 x ，y 时，x 2y 2 取得最小值，最小 值为 .625 825 425例 3 证明(1)a，b，c(0， )，ab2 ，bc2 ，ca2 ，ab bc ca( 1)( 1)( 1)1a 1b 1cb ca ca babc 8.2bc2ac2ababc(2)a，b，c(0，)，ab2 ，bc2 ，ca2 ，ab bc ca2(abc) 2 2 2 ，ab bc ca两边同加 abc 得3(abc) abc 2 2 2ab bc ca( )2.a b c又 abc1，
12、( )23，a b c .a b c 3跟踪训练 3证明(1)要证 abc ，3由于 a，b，c0，因此只需证明(abc) 23.即证：a 2b 2c 22( abbcca)3，而 abbcca1，故需证明：a 2b 2c 22( abbcca)3(abbcca)即证：a 2b 2c 2abbc ca.而这可以由 abbcca a 2b 2c 2 (当且仅当 abc 时等号成a2 b22 b2 c22 c2 a22立)证得原不等式成立(2) .abc bac cab a b cabc在(1)中已证 abc .3因此要证原不等式成立，只需 证明 .1abc a b c即证 a b c 1，bc
13、ac ab即证 a b c abbcca.bc ac ab而 a ，bc abacab ac2b ，c .acab bc2 ab bc ac2a b c abbcca (abc 时等号成立) bc ac ab33原不等式成立练出高分A 组1解|x3| | x4|9，当 x4 时，x3x49，即 40，所以 ab0，ab0,2ab0 ，从而(ab)(a b)(2ab)0，即 2a3b 32ab 2a 2b.3证明假设 a、b、c 都不大于 0，即 a0，b0，c0，所以 a bc0.而 abc (x2 2y 2)(y2 2z 3) (z2 2x 6)(x 2 2x)(y 22y)(z 22z) (x1) 2(y 1)2(z1) 23.所以 abc0，这与 abc0
