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1、 1 / 13北京市西城区 2014 年高三一模试卷数 学（文科） 20144第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设全集 ，集合 ，则集合 （ ）|02Ux1|0Ax UA（A） (,)（B） (,1（C） (,2)（D） 1,2)2已知平面向量 ， ，那么 等于（ ）(2,)a(,3)b|a+b|（A） 5（B） 1（C） 17（D） 133已知双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则此双曲线的离心率为（ 2:1(0,)xyCab）（A） 2（B） 2（C） 3（D） 54某几何体的三视图如图
2、所示，则该几何体的体积为 （ ）（A） 2（B） 43（C）（D） 5正(主)视图俯视图侧(左)视图23 1251 2 / 136 设 ，且 ，则“函数 在 上是减函数”是“函数 在0a1logayx(0,)3(2)yax上是增函数”的（ ）R（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件7某企业为节能减排，用 9 万元购进一台新设备用于生产 第一年需运营费用 2 万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加 2 万元，该设备每年生产的收入均为 11 万元 设该设备使用了 年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本） ，则 n 等于()nN（
3、 ） （A） 4（B）5 （C）6 （D）78 如图，设 为正四面体 表面（含棱）上与顶点不重合的一点，PAD由点 P 到四个顶点的距离组成的集合记为 M，如果集合 M 中有且只有2 个元素，那么符合条件的点 P 有（ ）（A） 4 个 （B）6 个 （C）10 个 （ D）14 个第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9设复数 ，其中 ，则 _ 1ii2xy,xRxy5下列函数中，对于任意 ，同时满足条件 和 的函数是（ ）xR()fx()(fxf（A）()sinfx（B） ()sin2f（C） ()cosf（D） cos2xB A D
4、C. P 3 / 1310若抛物线 的焦点在直线 上，则 _； 的准线方程为_2:Cypx20xypC11已知函数 若 ，则实数 _；函数 的最大值为_3, 0,()1xf 0()2fx0x()fx12执行如图所示的程序框图，如果输入 ，那么输出2,ab的 a 值为_ 13若不等式组 表示的平面区域是一个四边形，1,026,axy 则实数 的取值范围是_a14如图，在直角梯形 中，ABCD， ， ， ， ，P 为线段 （含端点）/ABCD212BCAD上一个动点 设 ， ，记 ，则 _； Pxy()fx(1)f函数 的值域为_()fx三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的
5、文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c 已知 22bcab（）求 的大小；（）如果 ， ，求 的值6cos32baA BD CP 开始 ba3log4输出 a结束否是输入 a, b 4 / 1316 （本小题满分 13 分）某批次的某种灯泡共 200 个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于 500 天的灯泡是优等品，寿命小于 300 天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品 寿命（天） 频数 频率10,2)10 0.5330 a,4)70 .305
6、b015,6)60 c合计 200（）根据频率分布表中的数据，写出 a，b，c 的值；（）某人从这 200 个灯泡中随机地购买了 1 个，求此灯泡恰好不是次品的概率；（）某人从这批灯泡中随机地购买了 个，如果这 n 个灯泡的等级情况恰好与按三个等级()nN分层抽样所得的结果相同，求 n 的最小值 5 / 1317 （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 ABCDS中，底面 是矩形， 2ADB， S， AB， N 是棱AD的中点（）求证： 平面 ； /（）求证： 平面 ；SN（）在棱 SC 上是否存在一点 P，使得平面 平面 ?若存在，求出 的值；若不存在，BDACSPC说明理由18 （本小题满
7、分 13 分）已知函数 ，其中 ()lnafxR（）当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程；2()fx(1,)f（）如果对于任意 ，都有 ，求 的取值范围1,2xaB CA DSN 6 / 1319 （本小题满分 14 分）已知椭圆 的焦距为 2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为 ，O 为21(0)xyWab： 1坐标原点（）求椭圆 W 的方程 （）设斜率为 的直线 l 与 W 相交于 两点，记 面积的最大值为 ，证明： k,ABOkS12S20 （本小题满分 13 分）在数列 中， 从数列 中选出 项并按原顺序组成的新数列记为 ，na1()nNna(3)knb并称 为数列 的 项子列
8、例如数列 为 的一个 4 项子列bk1,258na（）试写出数列 的一个 3 项子列，并使其为等比数列； na（）如果 为数列 的一个 5 项子列，且 为等差数列，证明： 的公差 满足bnbnbd；104d（）如果 为数列 的一个 6 项子列，且 为等比数列，证明：ncnanc12345632c北京市西城区 2014 年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 20144一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分1C 2B 3D 4C 5D 6A 7B 8C二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 10 25 42x 7 / 1311 12 13
9、25613 14 (,5) 14,注：第 10、11、14 题第一问 2 分，第二问 3 分 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 其他正确解答过程，请参照评分标准给分 15 （本小题满分 13 分） （）解：因为 ，22bcab所以 ， 4 分1osA又因为 ，(0,)所以 6 分3A（）解：因为 ， ，6cosB(0,)所以 ， 8 分23sin1s由正弦定理 ， 11 分siinabAB得 13 分3ib16 （本小题满分 13 分）（）解： ， ， 3 分0.15a3b0.c（）解：设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件 4 分A由表可知：这批灯泡中优等品有 60 个，正品有
10、100 个，次品有 40 个， 8 / 13所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为 8 分1064()25PA（）解：由（）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为 :03:2 10 分所以按分层抽样法，购买灯泡数 ，35210()nkkN所以 的最小值为 13 分n1017 （本小题满分 14 分）（）证明：因为底面 ABCD是矩形，所以 /， 1 分又因为 平面 ， 平面 ，SSCD所以 平面 3 分/ABCD（）证明：因为 ,SABSA，所以 平面 SAD， 5 分又因为 SN平面 D，所以 AB 6 分因为 S，且 N 为 AD 中点，所以 D又因为 AB，所以 平面 8 分SNC（）解
11、：如图，连接 BD 交 NC 于点 F，在平面 SNC 中过 F 作 /PSN交 C于点 P，连接 PB，PD 因为 平面 ，SABDB CA DSNFPN 9 / 13所以 FP平面 11 分ABCD又因为 平面 ，所以平面 平面 12 分在矩形 AB中，因为 /NDBC，所以 12FC在 S中，因为 /PSN， 所以12NF则在棱 SC 上存在点 P，使得平面 BD平面 AC，此时12SP 14 分18 （本小题满分 13 分）（）解：由 ，得 ， 2 分2()lnfx21()fx所以 ，(1)3f又因为 ，2f所以函数 的图象在点 处的切线方程为 4 分()fx(1,)f350xy（）解：由 ，得 ，2fln2ax即 6 分2lnax设函数 ，2()lgx则 ， 8 分ln1x因为 ，(,) 10 / 13所以 ， ，ln0x21所以当 时， ， 10 分(,)()ln210gxx故函数 在 上单调递增，gx1,所以当 时， 11 分(,)()1gx因为对
