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1、12013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(大纲卷)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013 大纲全国，文 1)设全集 U1,2,3,4,5，集合 A1,2，则 UA( )A1,2 B3,4,5C1,2,3,4,5 D 答案：B解析：由题意得 UA3,4,5故 选 B2(2013 大纲全国，文 2)已知 是第二象限角，sin ，则 cos ( )513A B C D135135132答案：A解析： 是第二象限角， cos .故选 A2251sin133(2013 大纲全国，文 3)已知向量 m( 1,1) ，
2、n(2,2) ，若(mn)(mn)，则 ( )A4 B3 C2 D1答案：B解析：( mn )(mn )，(mn)( mn) 0.|m|2|n| 20，即(1) 21(2) 240. 3.故选 B4(2013 大纲全国，文 4)不等式| x22|2 的解集是( )A(1,1) B(2,2)C(1,0)(0,1) D( 2,0)(0,2)答案：D解析：|x 22| 22x 2220x 240| x|22x0 或 0x2.故选 D5(2013 大纲全国，文 5)(x2) 8 的展开式中 x6 的系数是( )A28 B56 C 112 D224答案：C解析：T 21 x82 22112 x6.故选
3、C6(2013 大纲全国，文 6)函数 f(x) (x0)的反函数 f1 (x)( )21logA (x 0) B (x0)21C2 x1( xR) D2 x1(x0)答案：A解析：由 yf(x ) 1 2 yx .2log1yx0，y0.f1 (x) (x0)故选 A7(2013 大纲全国，文 7)已知数列a n满足 3an1 a n0， ，则a n的前 10 项和等于() 243A6(13 10 ) B (13 10)9C3(13 10 ) D3(13 10 )2答案：C解析：3a n1 a n0a n1 an，3an是以 为公比的等比数列又 a2 ，a14.43S10 3(1 310 )
4、故选 C0138(2013 大纲全国，文 8)已知 F1(1,0)，F 2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线交 C于 A，B 两点，且|AB|3，则 C 的方程为()A y 21 Bx2xyC D43154答案：C解析：如图，|AF 2| |AB| ，|F1F2|2，13由椭圆定义得|AF1|2 a .3在 RtAF1F2 中，|AF 1|2|AF 2|2| F1F2|2 2 2.3由得 a 2，b2a 2c 23.椭圆 C 的方程为 ，应选 C143xy9(2013 大纲全国，文 9)若函数 ysin(x )(0)的部分图像如图，则 ( )A5 B4C3 D2
5、答案：B解析：由题中图象可知 x0 x 0 . . .4.故选 B4T10(2013 大纲全国，文 10)已知曲线 yx 4ax 21 在点(1，a2) 处切线的斜率为 8，则 a()3A9 B6 C 9 D6答案：D解析：由题意知 y|x1 (4x 32ax)| x1 42a8，则 a6.故选 D11(2013 大纲全国，文 11)已知正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，AA 12AB，则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于()A B C D23333答案：A解析：如图，设 AA12AB 2，AC 交 BD 于点 O，连结 OC1，过 C 作 CHOC1 于点 H，连结 DH.
6、BDAC，BDAA1，BD平面 ACC1A1.CH 平面 ACC1A1，CHBDCH平面 C1BDCDH 为 CD 与平面 BDC1 所成的角OC1 .221 34O由等面积法得 OC1CHOCCC 1， .CH .32CH23sinCDH .故 选 A1D12(2013 大纲全国，文 12)已知抛物线 C：y 28x 与点 M(2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若 0，则 k() MBA B C D2122答案：D解析：设 AB：yk (x2)，代入 y28x 得：k2x2(4k 28)x4k 20，4设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x 2
7、，48kx1x24.(*) 0，M(x12 ，y12)( x22，y 22)0，即(x 1 2)(x22)(y 12)(y 22)0.x1x22(x 1x 2)4y 1y22(y 1y 2)40. y1y 2k(x 1x 24)， ,ky1y2k 2(x12)(x 22) k 2x1x22(x 1x 2)4 由(*)及得 k2.故选 D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13(2013 大纲全国，文 13)设 f(x)是以 2 为周期的函数，且当 x1,3) 时，f (x)x2，则 f(1) _.答案：1解析：f( x)是以 2 为周期的函数，且 x1,3)时，f (x)x2，则 f
8、(1)f(12)f(1) 121.14(2013 大纲全国，文 14)从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的决赛结果共有_种(用数字作答)答案：60解析：分三步：第一步，一等奖 有 种可能的结果；第二步，二等奖有 种可能的结果；第三步，三等16C25C奖有 种可能的结果故共有 (种)可能的结 果3C235015(2013 大纲全国，文 15)若 x，y 满足约束条件 则 zxy 的最小值为_,4,x答案：0解析：zxyyxz，z 表示直线 yxz 在 y 轴上的截距，截距越小，z 就越小画出题中约束条件表示的可行域(如图中阴影部分所示 )，当直 线过
9、点 A(1,1)时，zmin0.16(2013 大纲全国，文 16)已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的半径，OK，且圆 O 与圆 K 所在的平面所成的一个二面角为 60，则球 O 的表面积等于_32答案：16解析：如图，设 MN 为公共弦，长度为 R，E 为 MN 中点，连结 OE，EK，则 OEMN，KEMN.OEK 为圆 O 与圆 K 所在平面的二面角OEK60.又OMN 为正三角形，OE R.32OK ，且 OKKE，325OEsin 60 . .3232RR 2.S4R 216.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013 大纲全
10、国，文 17)(本小题满分 10 分)等差数列a n中，a 74，a 192a 9.(1)求a n的通项公式；(2)设 ，求数列b n的前 n 项和 Sn.1解：(1)设等差数列a n的公差为 d，则ana 1(n1)d.因为 794,2所以 116,8.ad解得 a11， .2所以a n的通项公式为 .na(2)因为 ，1b所以 .22231n nSn18(2013 大纲全国，文 18)(本小题满分 12 分)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，(abc)(abc)ac.(1)求 B；(2)若 sin Asin C ，求 C14解：(1)因为(a bc )(abc )ac，
11、所以 a2c 2b 2ac .由余弦定理得 cos B ，221因此 B120.(2)由(1)知 AC60，所以 cos(AC) cos Acos Csin Asin Ccos Acos C sin Asin C2sin Asin Ccos(AC)2sin Asin C 13+246 ，32故 AC30或 AC30，因此 C15或 C45.19(2013 大纲全国，文 19)(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 PABCD 中，ABCBAD90，BC2AD，PAB 和PAD 都是边长为 2 的等边三角形(1)证明：PBCD；(2)求点 A 到平面 PCD 的距离(1)证明：取 BC 的中点 E
12、，连结 DE，则 ABED 为正方形过 P 作 PO平面 ABCD，垂足 为 O.连结 OA，OB，OD，OE.由PAB 和PAD 都是等边三角形知 PAPBPD，所以 OAOB OD，即点 O 为正方形 ABED 对角线的交点，故 OEBD，从而 PBOE.因为 O 是 BD 的中点，E 是 BC 的中点，所以 OECD因此 PBCD(2)解：取 PD 的中点 F，连结 OF，则 OFPB由(1)知，PB CD，故 OFCD又 OD BD ，OP ，122PDO故POD 为等腰三角形，因此 OFPD又 PDCDD，所以 OF平面 PCD因为 AECD，CD 平面 PCD，AE 平面 PCD，
13、所以 AE平面 PCD因此 O 到平面 PCD 的距离 OF 就是 A 到平面 PCD 的距离，而 OF PB1，2所以 A 到平面 PCD 的距离为 1.20(2013 大纲全国，文 20)(本小题满分 12 分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛的2结果相互独立，第 1 局甲当裁判(1)求第 4 局甲当裁判的概率；(2)求前 4 局中乙恰好当 1 次裁判的概率解：(1)记 A1 表示事件“第 2 局结果为甲胜” ，A2 表示事件“第 3 局甲参加比赛时， 结果为甲负” ，A 表示事件“第 4 局甲当裁判” 则 AA 1A2.P(A)P(A 1A2)P(A 1)P(A2) .(2)记 B1 表示事件“第 1 局比赛结果为乙胜” ，7B2 表示事件“第 2 局乙参加比赛时，
