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1、第二章 层次分析法(AHP),第一节 思想和原理第二节 AHP的基本方法与步骤第三节 多层次分析法基本步骤第四节 应用案例选粹,第一节 思想和原理,层次分析法（The Analytical Hierarchy Process ,简称AHP)是美国匹兹堡大学教授运筹学家萨迪（A.L.Saaty）于20世纪70年代提出的一种在处理复杂的决策问题中，进行方案比较排序的方法。,它的基本思想是把一个复杂的问题分解为各个组成因素，并将这些因素按支配关系分组，从而形成一个有序的递阶层次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要性的总排序。层次分析法的出现给
2、决策者解决那些难以定量描述的决策问题带来了极大的方便，从而使它的应用几乎涉及任何科学领域。,基本思想：把复杂问题分解成各个组成因素，又将这些因素按支配关系分组形成递阶层次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性。然后综合决策者的判断，确定决策方案相对重要性的总排序。特点：将决策者对复杂系统的评价决策思维过程数学化。,选择最满意的汽车,价格,油耗,舒适度,动力,奔驰,本田,桑坦纳,尽管AHP具有模型的特色，在操作过程中使用了线性代数的方法，数学原理严密，但是它自身的柔性色彩仍十分突出。层次分析法十分适用于具有定性的，或定性定量兼有的决策分析，它是一种十分有效的系统分析和科学决策方法。
3、,第二节 AHP的基本方法与步骤,运用AHP进行决策时，大体可分为4个步骤进行：分析系统中各元素之间的关系，建立系统的递阶层析结构；对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较判断矩阵；由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重；计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。,一、递阶层次结构的建立,最高层：问题的预定目标或理想结果，也称目标层；中间层：包括为了实现目标所涉及的中间环节，也可以由若干层次组成，包括所考虑的准则、子准则，也称为准则层；最底层：实现目标的各种措施、决策方案等，也称为方案层。,递阶层次结构示意图,例：过河效益分析,目标层,准则层,方案层
4、,二、构造两两比较判断矩阵,判断矩阵,判断矩阵,判断矩阵,aij 是元素 ui 与 uj 相对于C的重要性的比例标度,判断矩阵具有下述性质：,例： ui 与 uj 相比重要性比例标度为3； 而uj 与 uk 相比重要性比例标度为2；如果认为ui 与 uk 相比重要性比例标度为6：,当上式对 A 的所有元素均成立时，判断矩阵 A 成为一致性矩阵。,三、单一准则下元素相对权重的计算,求出各元素相对于准则 C 的相对权重：,向量形式：,（一）权重计算方法,1、和法（每一列归一化后近似权重）,第一步：A 的元素按列归一化；,第一步：A的元素按列归一化；,第二步：将归一化后的 各行相加；,第三步：将相加
5、后的结果除以 n 即得权重向量。,例：各型号汽车对于动力指标的权重,按列归一化,各行相加,相加后的向量除以n,2、方根法,第一步：将判断矩阵A的每一行元素相乘后求其 1/n 次根即：第二步：对矩阵进行归一化处理，即：,例：各型号汽车对于动力指标的权重,3、特征向量法,3、特征向量法现以测量物体重量为例，设有n个物体A1，A2 ,，An，其重量分别为把n个物体的重量两两对比可得如下n x n矩阵。很显然，,如果用 右乘A，则可得,即：AW=nW 或 (A-nI)W=0,(A-nI)W=0即是矩阵的特征根方程，n是其中的一个特征根，(一般用 表示),w就是矩阵A的对应于特征根n的特征向量，如果已知
6、A，就可以通过求解矩阵A的特征根的方法找到W的相对值。,把物体重量的这个性质用在目标的重要性上，可以得出这样的启示：先用两两对比法构造出判断矩阵A，然后通过求它的特征根及特征向量的方法术出W，此向量W即为各目标的权系数。当矩阵完全满足 时，我们称这个判断矩阵具有完全的一致性，此时这个矩阵的最大特征根只有一个，即 其余特征根为零。,例：求矩阵A的特征根和特征向量,（二）一致性检验,判断矩阵是计算排序权向量的根据， 因此要求判断矩阵具有一致性。排序向量的计算方法都是一种近似算法。当判断矩阵偏离一致性过大时，这种近似估计的可靠程度也就值得怀疑。,违反常识、经不起推敲,一致性检验：只有当矩阵完全一致时
7、，判断矩阵A才存在 ，而不一致时， 即可用 这个差值大小来检验一致性的程度，一般用 这个一致性指标， 愈小，说明一致性愈大。 （consistency index）,（二）一致性检验,考虑到一致性偏差还可能是随机原因造成的，在检验判断矩阵是否具有满意的一致性时，还得将 与平均随机一致性指标 进行比较，得出检验数 ，即 R.I.（random index） 与判断矩阵的阶数有关，一般阶数愈大，出现一致性随机偏离的可能性也愈大，一般有如下数据。,单层次判断矩阵A的一致性检验进行一致性检验的步骤如下：（a）计算一致性指标C.I.： ，式中n为判断矩阵阶数。（b）计算平均随机一致性指标R.I.（c）计
8、算一致性比例C.R.： C.R. C.I./ R.I.当C.R.0.1时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。,四、计算各层元素对目标层的合成权重,汽车选择问题中综合重要度的计算,综合重要度的计算,同样需要从上到下逐层进行一致性检验。若已经求得以 C 层上元素 Cj 为准则的 一致性检验指标 C.I.j(2), 平均随机一致性指标 R.I.j(2) , 一致性比例C.R.j(2) 。 那么，C 层的综合指标C.I.(2)、R.I.(2)、C.R.(2)应为：,汽车选择问题中综合重要度的计算, 实际应用时，整体一致性检验常常可以省略。 决策者给出单目标下准则判断矩阵时，是难以对整体进行考虑的，当整体一致性不满足要求时，进行调整也比较困难，因此目前大多数实际工作都没有对整体一致性进行严格检验。其必要性有待于进一步讨论。,
