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1、西安郵電學院数值分析课程设计报告书系部名称 ： 应 用 数 理 系学生姓名 ：专业名称 ： 信息与计算科学班 级 ： 时间 ： 2 1实验 X 19 次方系数对方程根的影响一、问题的提出考虑代数多项式 ,显然它的全部根201()1(2)()()kPxxx为 1,2,20;如果 19 次方的系数有扰动,那么对方程的解有何影响.二、实验内容直接利用 Matlab 中的 roots()和 poly()函数,选择不同的扰动做数值计算.主要步骤:ve=zeros(1,21);ve(2)=ess;roots(poly(1:20)+ve).Matlab 程序:见附件 bingtaiwenti.m三、实验结果
2、1.取扰动分别为 所得结果如下:36910,3 61091027.0817+5.03812i 21.3025+1.56717i 19.952+0i27.0817-5.03812i 21.3025-1.56717i 19.2293+0i19.5337+9.1664i 18.5028+3.6004i 17.6573+0.692896i19.5337-9.1664i 18.5028-3.6004i 17.6573-0.692896i13.8235+7.77167i 15.1651+3.76125i 15.4524+0.875524i13.8235-7.77167i 15.1651-3.76125i
3、15.4524-0.875524i10.7211+5.4609i 12.4866+2.88278i 13.3527+0.486992i10.7211-5.4609i 12.4866-2.88278i 13.3527-0.486992i8.91282+3.47317i 10.5225+1.71958i 11.8578+0i8.91282-3.47317i 10.5225-1.71958i 11.0427+0i7.69268+1.89884i 9.04487+0.59455i 9.9916+0i7.69268-1.89884i 9.04487-0.59455i 9.00201+0i6.75761+
4、0.654714i 7.94891+0i 7.99952+0i6.75761-0.654714i 7.00247+0i 7.00009+0i5.95208+0i 5.99995+0i 5.99999+0i5.00061+0i 5+0i 5+0i4+0i 4+0i 4+0i3+0i 3+0i 3+0i2+0i 2+0i 2+0i1+0i 1+0i 1+0i22.绘制相应的图形,即将以上结果可视化.图 2. 610图 1. 3103四、实验结果分析观测现象:由结果可以观察到误差是不可避免的,并且扰动的减小不能使得所有根除的误差减小,还可以观察到 处的误差总是最大,而靠近 处的误差较小.16x1x误
5、差分析:原问题数学上描述为: 的求解问题,也可等价为:19()0Px2,那么要考虑的问题是 对方程的某个解 的影响,我们不妨将 看成 的函数,x从而可以求得此问题的条件数为: 18201(,) ()p ijiPdxaxCj可以求得 20 个根处的条件数为:图 3. 910419 次方系数 变化对根的影响问题条件数(,)pCxX=1,5 X=6,10 X=11,15 X=16,20.172633e-14 2038.69 .886669e9 .315986e11.859841e-8 76273.1 .347381e10 .235250e11.114368e-3 .156701e7 .978210e
6、10 .116152e11.114955 .195843e8 .199945e11 .341541e1025.5252 .159475e9 .296669e11 .452548e9可见而靠近 处的条件数非常小,而 处的条件数最大.这与我们的1x16x观测结果是一致的.由于条件数太大所以此问题是病态问题.实验 Y 用 Jacobi 法求对称矩阵的特征值及特征向量一、实验内容已下列矩阵为例,求对称矩阵的全部特征值及特征向量:1. 55243,10.A2. 6529,.133. 96,10.A二、方法步骤1.在 的非主对角线元素中,找出按模最大的元素 ;A pqa2.计算平面旋转矩阵 ,其中的 及
7、由 计算;pqUsin()cos()t2pqa3.计算 , ( 的初始值取单位阵);T1pq1pq14.如果 (其中 为 的元素),则停止计算,所求特征值为:()maxijij)ijaA5,特征向量: 即得第 列;否则令 , 重复以上(1)iiaT1,iiniUxi1AU各步.三、实验结果讨论的矩阵为:A =5 2 42 5 34 3 1要求误差为:err=1e-005迭代次数:7第 1 个特征值为:9.8057相应的特征向量为:0.65053 0.57817 0.49248第 2 个特征值为:3.0604相应的特征向量为:-0.62538 0.77572 -0.084615第 3 个特征值为
8、:-1.8661相应的特征向量为:-0.43095 -0.25294 0.8662讨论的矩阵为:A =3 5 -15 2 9-1 9 3要求误差为:err=1e-006迭代次数:7第 1 个特征值为:3.8441相应的特征向量为:0.87749 0.052794 -0.47668第 2 个特征值为:-8.2319相应的特征向量为:-0.3691 0.70896 -0.60095第 3 个特征值为:12.3879相应的特征向量为:0.30622 0.70327 0.64159讨论的矩阵为:A =2 1 31 2 63 6 1要求误差为:err=1e-009迭代次数:8第 1 个特征值为:1.19
9、84相应的特征向量为:0.88975 -0.4478 -0.088467第 2 个特征值为:8.6956相应的特征向量为:0.39037 0.64607 0.6559第 3 个特征值为:-4.894相应的特征向量为:-0.23656 -0.61812 0.749656以上为程序:tezhjcobi.m 运行结果,Matlab 程序见附件数值分析试验报告矩阵的 LU 分解1. 题目：求 4 阶矩阵 的 LU 分解401856922. 方法：杜里特尔分解法3. 程序：function f=LU_decom(A)m,n=size(A)L=eye(n);U=zeros(n);flag=ok;for i
10、=1:nU(1,i)=A(1,i);endfor r=2:nL(r,1)=A(r,1)/U(1,1);endfor i=2:nfor j=i:nz=0;for r=1:i-1z=z+L(i,r)*U(r,j);endU(i,j)=A(i,j)-z;endif abs(U(i,i) LU_decom(A)m =4n =4L =1 0 0 02 1 0 01 2 1 03 3 2 1U =2 4 2 60 1 2 30 0 3 60 0 0 15.拓展在编写程序过程中由于角标较多因此在运行过程中出现了不少角标不对的错误题目；给出函数 f(x)=1/(1+25x2)，求 f（x 在-1,1上取 5
11、个和 9 个等距节点，做最小二乘拟合，得出均方误差方误差。五个节点时，matlab编码为：首先建立M文件，并保存function y=f(x)y=1/(1+25*x2);endx=-1 -0.5 0 0.5 1;for i=1:5y(i)=f(x(i);enda=polyfit(x,y,3)syms xf1=a(1)*x3+a(2)*x2+a(3)*x+a(4)x=-1 -0.5 0 0.5 1;for i=1:5E(i)=(f(x(i)-(a(1)*x(i)3+a(2)*x(i)2+a(3)*x(i)+a(4)2;endsum(E)输出结果为8a =-0.0000 -0.6063 -0.00
12、00 0.5737f1 =-4878849915647781/1298074214633706907132624082305024*x3-1600/2639*x2-5348847520430703/649037107316853453566312041152512*x+1514/2639（拟合的多项式）ans =0.3534（均方误差）九个点的时候，matlab 编码为：x=-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1;for i=1:9y(i)=f(x(i);enda=polyfit(x,y,3)syms xf2=a(1)*x3+a(2)*x2+a(3)*x+a
13、(4)x=-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1;for i=1:5E1(i)=(f(x(i)-(a(1)*x(i)3+a(2)*x(i)2+a(3)*x(i)+a(4)2;endsum(E1)输出结果为：a =-0.0000 -0.5609 0.0000 0.4855f2 =-728732707776039/2535301200456458802993406410752*x3-1263030908712921/2251799813685248*x2+4915246442354361/20282409603651670423947251286016*x+10
14、93229300764671/2251799813685248（最小二乘拟合多项式）ans =0.33509（均方误差）用复合梯形公式求积分 的值。1204dxfunction i=combinetraprl(f,a,b,eps)%复化梯形公式求函数 f 在区间a，b上的定积分%函数名：f%积分下限：a%积分上限：b%积分精度：eps%积分值：i%积分划分的子区间个数：stepn=1;h=(b-a)/2;i1=0;i2=(subs(sym(f),findsym(sym(f),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f),b)/h;while abs(i2-i1)epsn=n+1;
15、h=(b-a)/n;i1=i2;i2=0;for i=0:n-1x=a+h*i;x1=x+h;i2=i2+(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f),x)+.subs(sym(f),findsym(sym(f),x1);endend四阶龙格-库塔法分别求解下列初值问题； 20.9(1),()1;0,yxxfunctionx,y=runge_kutta(fun,x0,xt,y0,pointnum,varargin)if narginx0=0;xt=1;fun=inline(9*y/(1+2*x),x,y);y0=1;pointnum=10;x1,yr=runge_kutta(fun,x0,xt,y0,p
