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1、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共 6 页，22 题，其中第 15、16 题为选考题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4选考题的作答：
2、先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 为虚数单位， 的共轭复数为i607iA B C1 D i 12我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为A134 石 B169 石 C338 石 D1365 石3已知 的展开式
3、中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(1)nxA B C D2 12102924设 ， ，这两个正态分布21(,)XN(,)YN密度曲线如图所示下列结论中正确的是A 21()()PB XC对任意正数 ，t()()PXtYtD对任意正数 ， 5设 ， . 若 p： 成等比数列；12,naR 312,naq： ，则22 21 1231()()()naaa Ap 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件Bp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件Cp 是 q 的充分必要条件Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件6已知符号函数 是 上的增函数， ，则1
4、,0,sgn,.x()fR()()1gxfaxA Bs()x sn()snC Dgns()fxgg()xfx7在区间 上随机取两个数 ，记 为事件“ ”的概率， 为事件“ ”的0,1,y1p12y2p1|2y概率， 为事件“ ”的概率，则 3p2xyA B 12 231pC D 38将离心率为 的双曲线 的实半轴长 和虚半轴长 同时增加 个单位长度，得1e1Ca()ba(0)m到离心率为 的双曲线 ，则22A对任意的 ， B当 时， ；当 时，,ab1e12eab12eC对任意的 ， D当 时， ；当 时，2ab9已知集合 ， ，定义集合 (,),xyxyZ(,)|,|,xyyxZ，则 中元素
5、的个数为12212()(,ABABAA77 B49 C45 D3010设 ， 表示不超过 的最大整数. 若存在实数 ，使得 ， ， 同xRxt1t2tnt时成立，则正整数 的最大值是nA3 B4 C5 D6二、填空题：本大题共 6 小题，考生需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 （一）必考题（1114 题） 11已知向量 ， ，则 OAB|3OAB12函数 的零点个数为 2()4cos()2sin|l(1)|xf x13如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北A的方向上，
6、行驶 600m 后到达 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此30 B75 30山的高度 m. CD14如图，圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴交于两点 （B 在 A 的上方） ，Cx(1,0)Ty,且 2AB（）圆 的标准方程为 ；（）过点 任作一条直线与圆 相交于 两点，下列三个结论：2:1Oxy,MN ； ； NMBNBA2BA其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）（二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑如果全选，则按第 15 题作答结果计分 ）15 （选修 4-1：几何证明选讲）如
7、图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且，则 . 3BCPB16 （选修 4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 l 的极坐 标方程为 ，曲线 C 的参数方程为 ( t 为参数) ，l 与 C 相交于(sin3cos)01,xtyA B 两点，则 .,|A三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题满分 11 分）某同学用“五点法” 画函数 在某一个周期内的图象()sin()(0,|)2fxAx时，列表并填入了部分数据，如下表： x0 232356si
8、n()Ax0 5 0（）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 的解()fx析式；（）将 图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到 的图()yfx(0)()yg象. 若 图象的一个对称中心为 ，求 的最小值. g5,1218 （本小题满分 12 分）设等差数列 的公差为 d，前 n 项和为 ，等比数列 的公比为 q已知 ，nanSnb1ba， ， 2bqd10S（）求数列 ， 的通项公式；nb（）当 时，记 ，求数列 的前 n 项和 nacncnT19 （本小题满分 12 分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四
9、面体称之为鳖臑如图，在阳马 中，侧棱 底面 ，PABCDPABCD且 ，过棱 的中点 ，作 交 于点 ，PDCEFF连接 ,.EF （）证明： 试判断四面体 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角PBDEF平 DBEF（只需写出结论） ；若不是，说明理由；（）若面 与面 所成二面角的大小为 ，求 的值AC3C20 （本小题满分 12 分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 两种奶制品生产 1 吨 产品需鲜牛奶 2 吨，使用,ABA设备 1 小时，获利 1000 元；生产 1 吨 产品需鲜牛奶 1.5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200元要求每天 产品的产量不超过 产品产量的 2 倍，设备每天生
10、产 两种产品时间之和B ,B不超过 12 小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量 W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W 12 15 18P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 （单Z位：元）是一个随机变量（）求 的分布列和均值；Z（）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率21 （本小题满分 14 分）一种作图工具如图 1 所示 是滑槽 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过OABN 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 ， 当栓子1D
11、N3MD 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 转动一周（D 不动时，N 也不动） ，M 处的笔尖画出的曲线记为 C以 为原点， 所在的直线为 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系x（）求曲线 C 的方程；（）设动直线 与两定直线 和 分别交于 两点若直线 总与曲l1:20lxy2:0ly,PQl线 有且只有一个公共点，试探究： OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由 22 （本小题满分 14 分）已知数列 的各项均为正数， ，e 为自然对数的底数na1()()nnbaN（）求函数 的单调区间，并比较 与 e 的大小；()1exfxn（）计算 ， ， ，由此推测计算 的公式，并给出证明；1ba2231ba12nba（）令 ，数列 ， 的前 项和分别记为 , , 证明： . 12()nnc ncnSTenS
