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1、 0 / 82015 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷）数学（理科）第 I 卷（选择题 共 40 分）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的）1复数 ( )i2A B C D12i12i12i2若 ， 满足 则 的最大值为( )xy0xy ， ， ， zxyA0 B1 C D2323执行如图 1 所示的程序框图，输出的结果为( )A B C D2， 40， 4， 08， 主x=1主y=1主k=0s=x-y主t=x+yx=s主y=tk=+1k 3主(x主y)主主4设 ， 是两个不同的平面， 是直线且 “ ”是“ ”的( )m
2、m A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件图 1 1 / 85某三棱锥的三视图如图 2 所示，则该三棱锥的表面积是( )主()主 11主主()主2 1A B C D52545256设 是等差数列.下列结论中正确的是( )naA若 ，则 B若 ，则120230a130a120aC若 ，则 D若 ，则1 237如图 3，函数 的图象为折线 ，则不等式 的解集是( )fxAC2log1fxA BO xy-1 22CA B|10x|1C D| |2x8汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图 4 描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情
3、况. 下列叙述中正确的是( )A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油图 2图 3 2 / 8第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上）9在 的展开式中， 的系数为 （用数字作答）52x3x10已知双曲线 的一条渐近线为 ，则 210ya30xya11在极坐标系中，点 到直线 的距离为 3 cosin612在 中， ，
4、， ，则 ABC 4a5b62iAC13在 中，点 ， 满足 ， 若 ，则 MNBNMxAByCx； y14设函数 214.xaxfx若 ，则 的最小值为 ；1af若 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围是 fxa三、解 答题（本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. (本小题共 13 分)已知函数 2()2sincosinxxf(I)求 的最小正周期；fx(II)求 在区间 上的最小值f016 （本小题 13 分） ， 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：AB天）记录如下：组： 10，11，12，13，14，15，16组：12，1
5、3， 15，16，17，14，Ba假设所有病人的康复时间互相独立，从 ， 两组随机各选 1 人， 组选出的人记为ABA甲， 组选出的人记为乙(I)求甲的康复时间不少于 14 天的概率；(II)如果 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；25a(III)当 为何值时， ， 两组病人康复时间的方差相等？（结AB论不要求证明）17 （本小题 14 分）如图，在四棱锥 中， 为等边三角形，平面EFC平面 ， ， ， ，AEFB 4BEFa图 4OFE CBA 3 / 8， 为 的中点60EBCFOEF(I)求证： ；A(II)求二面角 的余弦值；B(III)若 平面 ，求 的值a18 （本小题 13
6、 分）已知函数 1lnxf(I)求曲线 在点 处的切线方程；y0f，(II)求证：当 时， ；x，32x(III)设实数 使得 对 恒成立，求 的最大值k3fkx01， k19 （本小题 14 分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 和点C210xyab201P，都在椭圆 上，直线 交 轴于点 Amn， 0 CPAxM(I)求椭圆 的方程，并求点 的坐标（用 ， 表示） ；Mmn(II)设 为原点，点 与点 关于 轴对称，直线 交 轴于点 问： 轴上是否OBBxNy存在点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由QONQQ20 （本小题 13 分）已知数列 满足： ， ，且 na*113
7、6a 121836nnna， ， 2， ， 记集合 |M(I)若 ，写出集合 的所有元素；16(II)若集合 存在一个元素是 3 的倍数，证明： 的所有元素都是 3 的倍数；M(III)求集合 的元素个数的最大值参考答案一、选择题1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.C 8.D二、填空题9.40 10. 11.1 12.1 13. ； 14.1， a 0（0 =0，x（0，1 ） ，g()即当 x（0 ，1）时， 2(x+ ).()f3（III）由（）知，当 k2 时， k(x+ )对 x（0，1）恒成立.x当 k2 时，令 = - k(x+ )，则()hxf3= -k（1+ ）
8、= .()hxf2421kx所以当 时， 2 时， k(x+ )并非对 x（0 ，1）恒成立.()fx3综上可知，k 的最大值为 2.19.解：（ ）由题意得 解得 =2.221,.bca2a故椭圆 C 的方程为 21xy设 M（ ，0） .m因为 m0，所以-11，因为 =2 或 =2 -36，所以 2 是 3 的倍数，于是 是 3 的ka1k1a1ka1ka倍数， ；类似可得， ， 都是 3 的倍数，从而对任意 ， 是 3 的倍数，2 nn因此 M 的所有元素都是 3 的倍数.综上，若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，则 M 的所有元素都是 3 的倍数.（III）由 ， 可归纳证明 .36a11,8,26nna6(2,)na由于 是正整数， 所以 是 2 的倍数.11,3a从而当 时， 是 4 的倍数.3nna如果 是 3 的倍数，由（）知对所有正整数 n， 是 3 的倍数.1 a因此当 时， .这时 M 的元素个数不超过 5.2,6n如果 不是 3 的倍数，由（）知所有正整数 n， 不是 3 的倍数.1因此当 时 .这时 M 的元素个数不超过 8.4,810,3na当 =1 时， 有 8 个元素.1 2M综上可知，集合 M 的元素个数最大值为 8.
