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1、 2015 年普通高等学校招生统一考试（湖北卷）文科数学一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. i为虚数单位， 607iA i B i C 1 D1 2. 我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分” 题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（ ）A134 石 B169 石 C338 石 D1365 石3. 命题“ 0(,)x， 0ln1x”的否定是A ， B 0(,)x， 0ln1xC (,)， l D ，4. 已知变量 x和 y满
2、足关系 0.1yx，变量 y与 z正相关 . 下列结论中正确的是A 与 负相关， x与 z负相关 B x与 正相关， x与 z正相关C 与 正相关， 与 负相关 D 与 负相关， 与 正相关5. 12,l表示空间中的两条直线，若 p： 12,l是异面直线；q： 12,l不相交，则 Ap 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件Bp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件Cp 是 q 的充分必要条件Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件6. 函数256()4|lg3xfx的定义域为 A 2,3 B (2,4C (), D 13)(,67. 设 xR，定义符号函数1,0,sgn
3、,.x则A |s|x B |sgn|xC |gn D | 8. 在区间 0,1上随机取两个数 ,xy，记 1p为事件“ 12xy”的概率， 2p为事件“ 12xy” 的概率，则A 12p B 12p C 21 D 219. 将离心率为 e的双曲线 1C的实半轴长 a和虚半轴长 ()ba同时增加 (0)m个单位长度，得到离心率为 2的双曲线 2，则A对任意的 ,ab， 1e B当 时， 12e；当 ab时， 12eC对任意的 ， 2 D当 ab时， ；当 时， 10. 已知集合 2(,)1,AxyxyZ， (,)|,|,xyyxZ，定义集合12212(, ()ABxAB，则 A中元素的个数为A7
4、7 B49 C45 D30第卷（共 110 分） （非选择题共 110 分）二、填空题（每题 7 分，满分 36 分，将答案填在答题纸上）11. 已知向量 OAB， |3，则 OAB_12. 若变量 ,xy满足约束条件4,230,xy则 3xy的最大值是_13. 函数 2()2sin()fx的零点个数为_.14. 某电子商务公司对 10000 名网络购物者2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间 0.3,9内，其频率分布直方图如图所示. （）直方图中的 a_；（）在这些购物者中，消费金额在区间 0.5,9内的购物者的人数为_. 15. 如图，一辆汽车在一条水平的公路
5、上向正 西行驶，到 A处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600m 后到达 B处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 ，则此山的高度 CD_m. 16. 如图，已知圆 C与 x轴相切于点 (1,0)T，与 y轴正半轴交于两点A，B（B 在 A 的上方） ，且 2AB. （）圆 的标准方程为_；（）圆 C在点 处的切线在 x轴上的截距为_.17. a 为实数，函数 2()|fxa在区间 0,1上的最大值记为 ()ga. 当 _时， ()ga的值最小.三、解答题 （本大题共 5 小题，共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（本小题满分 12 分
6、）某同学用“五点法” 画函数 ()sin()(0,|)2fxAx在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x0 32356sin()Ax0 5 0（）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 ()fx的解析式；（）将 ()yfx图象上所有点向左平行移动 6个单位长度，得到 yg图象，求()ygx的图象离原点 O最近的对称中心 .19.（本小题满分 12 分）设等差数列 na的公差为 d，前 n 项和为 nS，等比数列 nb的公比为 q已知 1ba，2b， qd， 10S （）求数列 na， b的通项公式；（）当 1d时，记 nc，求数列 nc的前 n 项和 n
7、T20.（本小题满分 13 分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马 PABCD中，侧棱 P底面 ABCD，且 PDC，点 E是 P的中点，连接 ,DEB. （）证明： DE平面 PBC. 试判断四面体 EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论） ；若不是，请说明理由；（）记阳马 A的体积为 1V，四面体 的体积为 2V，求 12的值21.（本小题满分 14 分）设函数 ()fx， g的定义域均为 R，且 ()fx是奇函数， ()gx是偶函数， ()exfxg，其中 e 为自然对数的底
8、数. （）求 ()f， 的解析式，并证明：当 0时， ()0f， ()1；（）设 0a， 1b，证明：当 x时， ()1)xagxbg.22.（本小题满分 14 分）一种画椭圆的工具如图 1 所示 O是滑槽 AB的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 1DN， 3M当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为 C以 为原点， AB所在的直线为 x轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系（）求椭圆 C 的方程；（）设动直线 l与两定直线 1:20lxy和 2:0lxy分别交于 ,PQ两点若直线 l总与椭 圆 C有且只有一个公共点，试探究： OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由
