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1、 2015 年北京高考数学（理科）本试卷共 5 页，150 分考试时长 120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数 i2A B C D12i12ii2若 ， 满足 则 的最大值为xy01xy ， ， ， 2zxyA0 B1 C D2323执行如图所示的程序框图，输出的结果为A B C D2， 40， 4，08，4设 ， 是两个不同的平面， 是直线且 “ ”是“ ”的mm A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C
2、充分必要条件 D既不充分也不必要条件5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A B2545C D56设 是等差数列. 下列结论中正确的是naA若 ，则120230a主x=1主y=1主k=0s=x-y主t=x+yx=s主y=tk=k+1k 3主(x主y)主主主主()主 11主主()主2 1 B若 ，则130a120aC若 ，则23D若 ，则10a120a7如图，函数 的图象为折线 ，则不等式fxACB的解集是2log1fxA |0xB |1C |xD |128汽车的“燃油效率” 是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确
3、的是A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9在 的展开式中， 的系数为 （用数字作答）52x3x10已知双曲线 的一条渐近线为 ，则 210ya30xya11在极坐标系中，点 到直线 的距离为 3 cosin612在 中， ， ， ，则 ABC 4a5b62iACA BO xy -1 22C 13在 中，点
4、 ， 满足 ， 若 ，则ABC MN2ACBNMxAByCx； y14设函数 214.xaxfx若 ，则 的最小值为 ；1af若 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围是 fxa三、解答题（共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15 （本小题 13 分）已知函数 2()2sincosinxxf() 求 的最小正周期；fx() 求 在区间 上的最小值()f016 （本小题 13 分）， 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：AB组： 10，11，12，13，14，15，16组：12，13，15，16，17，14， a假设所有病人的康复时
5、间互相独立，从 ， 两组随机各选 1 人， 组选出的人记为甲，ABA组选出的人记为乙B() 求甲的康复时间不少于 14 天的概率；() 如果 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；25a() 当 为何值时， ， 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）AB17 （本小题 14 分） 如图，在四棱锥 中， 为等边三角形，平面 平面 ， ，AEFCBA AEFCBEF， ， ， 为 的中4BC2a60O点() 求证： ；AOBE() 求二面角 的余弦值；F() 若 平面 ，求 的值Ca18 （本小题 13 分）已知函数 1lnxf（）求曲线 在点 处的切线方程；yf0f，（）求证：当 时，
6、 ；1x，32xf（）设实数 使得 对 恒成立，求 的最大值k3fkx01， k19 （本小题 14 分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 和点 都在椭C210xyab201P， Amn， 0圆 上，直线 交 轴于点 PAM（）求椭圆 的方程，并求点 的坐标（用 ， 表示） ；mn（）设 为原点，点 与点 关于 轴对称，直线 交 轴于点 问： 轴上是否存OBAxPBxNy在点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由QONQQ20 （本小题 13 分）已知数列 满足： ， ，且 na*1N136a 121836nnna， ， 2， ， 记集合 *|nMOFE CBA （）若 ，写出集合 的所有元素；16aM（）若集合 存在一个元素是 3 的倍数，证明： 的所有元素都是 3 的倍数；M（）求集合 的元素个数的最大值（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
