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1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，满分 150 分.考试用时 120 分钟.第 I 卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小 题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合 ， ，则 ( )24Ax130BxABA. B. C. D. ,31,2,2,42、若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 ( )ziizA. B. C. D.1i11i1i3、设 ，则 的大小关系是 ( )0.6.50.6,abc,abcA. B. C. D. cabca4、要得到函数 的图象，只需将函数 的图象
2、 ( )sin43yxsin4yxA.向左平移 个单位 B.向右 平移个单位1212C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位3 35、设 ，命题“若 ，则方程 有实根”的逆否命题是 ( )mR020xmA.若方程 有实根，则 2xB. 若方程 有实根，则 C.若方程 没有实根，则20xm0mD.若方程 没有实根，则6、为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况，随机选取该月中的5 天，将这 5 天中 14 时的气温数据(单位:)制成如图所示的茎叶图。考虑以下结论：甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温；甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温；甲地该月
3、 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差；甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 ( )A. B. C. D. 7、在区间 上随机地取一个数 ，则事件“ ”发生的概率为 ( )0,2x12logxA. B. C. D. 343348、若函数 是奇函数，则使 成立的 的取值范围为 ( )21xfafxxA. B. C. D. ,1,00,1,9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ( )A. B. C. D.23434210.设函数
4、 若 ，则 ,1,2xbf546fbA.1 B. C. D. 78312第 II 卷二、填空题（本大题共 5 小题，每小 题 5 分，共 25 分。把答案填在题中横线上)11.执行右边的程序框图，若输入的 的值为 1，则输出的 的值是 .xy12.若 满足约束条件 则 的最大值为 .,xy,31,yz13.过点 作圆 的两条切线，切点分别为1,3P2xyA，B，则 .14.定义运算“ ”： .当2,0xyRxy时， 的最小值为 .0,xyxy15.过双曲线 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 C 于点 P，2:10,xyCab若点 P 的横坐标为 则 的离心率为 .三、解答题(本大题共 6
5、 小题 ，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16 （本小题满分 12 分）某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的请况，数据如下表：参加书法社团 未参加书法社团参加演讲社团 8 5未参加演讲社团 2 30（I）从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 ， 54321,A3 名女同学 ，现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 被选中且 未被321,B 1B选中的概率。17 （本小题满分 12 分）中，角 所对的边分别为 ，已知 ，AC, cba,
6、3osB，求 和 的值.32,96)sin(acBAsin18 （本小题满分 12 分）如图，三棱台 中，ABC-DEF分别为 的中点，2,ABGH,（I）求证： 平面 ；/（II）若 ，求证：平面,平面 .CDF19 （本小题满分 12 分）已知数列 是首项为正数的等差数列，数列 的前 项和为 。na 1na12n（I）求数列 的通项公式；n（II）设 ，求数列 的前 项和 .na2)1(bnbnT20 （本小题满分 13 分）设函数 ，已知曲线 在点 处的切线与直线xegxf 2)(,l)()(xfy)1(,f平行，02yx（I）求 的值；a（II）是否存在自然数 ，使的方程 在 内存在唯
7、一的根？如果存在，求出 ；k)(xgf)1,k k如果不存在，请说明理由；（III）设函数 表示 中的较小值） ，求 的最大值.),)(min,(in)( qpxfxm, )(xm21. （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，且点Oy )0(1:2bayxC23在椭圆 上，)21,3(C（I）求椭圆 的方程；（II）设椭圆 ， 为椭圆 上任意一点，过点 的直线 交椭圆 E 于14:2byaxEPCPmkxy两点，射线 交椭圆 E 于点 ，BA,POQ（i）求 的值；Q（ii）求 面积的最大值。AB参考答案一、选择题1.C 2.A 3.C 4.B 5.D6.B 7
8、.A 8.C 9.B 10.D 二、填空题11.13 12.7 13. 14. 15.2+233三、解答题16.解：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30人，故至少参加上述一个社团的共有 45301人，所以从该班级随机选 1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 .P(2)从这 名男同学和 名女同学中各随机选 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：11213212231323,ABABABABAB444555，共 个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“ 1A被选中且 1B未被选中”所包含的基本事件有： 1213,AB，共 2个.因此 被选中且 未被选中
9、的概率为 215P.17.解：在 C中，由 3cos，得 6sin3B.因为 AB，所以 ini()9A，因为 siniC，所以 B， C为锐角， 53cos，因此 ii()sincoinA66293.由 ,siniacC可得2si3n69Aac，又 23a，所以 1c.18（I）证法一：连接 ,.DG设 CFM,连接 H，在三棱台 DEFABC中，2ABE，分别为 A的中点，可得 /DGC，所以四边形 G是平行四边形，则 M为 CD的中点，又 H是 BC的中点，所以 /HMBD,又 H平面 FG， 平面 FG，所以 平面 FG.证法二：在三棱台 DEFABC中，由 2,EFH为 BC的中点，
10、可得 /,BH所以 为平行四边形，可得 /.F在 AC中， G， 分别为 ， 的中点，所以 /,又 F，所以平面 F平面 ABED，因为 BD平面 ，所以 /平面 GH.(II)证明：连接 HE.因为 G， 分别为 ACB， 的中点，所以 /,GHAB由 ,C得GBC，又 为 的中点，所以 /,EF因此四边形 EF是平行四边形，所以 /.F又 ，所以 EB.又 ,HE平面 G， H，所以 BC平面 EGH，又 BC平面 D，所以平面 C平面 .E19.解：（I）设数列 na的公差为 d，令 1,n得 23，得到 123.令 ,得 1235a，得到 235a.解得 ,d即得解.（II）由（I）知
11、 24,nnnb得到 124.4,nnT从而 2341.(1),nT利用“错位相减法”求和.试题解析：（I）设数列 na的公差为 d，令 1,n得 23，所以 123.令 ,得 1235a，所以 235a.解得 ,d，所以 1.n（II）由（I）知 24,nnb所以 124.4,nnT所以 2341.(),nT两式相减，得 1214.4nn 11()3,1nn所以1134()4.99nnnT20.解：（I）由题意知，曲线 在点 (,)f处的切线斜率为 2，所以 (1)2f，又 ()ln1,afx所以 .（II） k时，方程 ()fxg在 (1,2)内存在唯一的根.设2()()1ln,xhxfg
12、xe当 0,1时， 0.又 224()3lnl810,he所以存在 0(,)x，使 0()hx.因为 1l,xe所以当 (1,2)x时， 1()0hxe，当 (2,)x时，()hx， 所以当 1,)时， ()hx单调递增.所以 k时，方程 fg在 (,1)k内存在唯一的根.（III）由（ II）知，方程 )x在 2内存在唯一的根 0x，且 0(,)x时，()fxg， 0(,)时， ()fgx，所以 20(1)ln),(,)xme.当 0(,)时，若 (,1)0;xm若 1x由 ln,可知 0();x故 0().xm当 0(,)时，由 (2)xe可得 0,2时， ,单调递增；2x时， (0,mx
13、单调递减；可知 24()e且 ()2.综上可得函数 x的最大值为 .21.解：（I）由题意知 231,4ab又23ab，解得 24,1ab，所以椭圆 C 的方程为 .xy（II）由（I）知椭圆 E 的方程为2164xy.（i） 设 0|(,),OQPxy由题意知 0(,)xy.因为201.4又2200()164y，即20()1.4所以 ，即 |.OQP（ii）设 12(,)(,)AxyB将 ykxm代入椭圆 E 的方程，可得2(484160km，由 ,可得 22416k则有21212,.4kxxk所以212| .mx因为直线yk与 y轴交点的坐标为 (0,)，所以 OAB的面积 222212 (164)|16| 4kmkSx 22(4).14k设2.4tk将直线 yx代入椭圆 C 的方程，可得 22()80xm，由0,可得 2214k由可知 2,()4.tStt故 3S.当且仅当 ，即 22mk时取得最大值由（i）知，
