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1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文2015 年上海市文科试题一填空题（本大题共 14 小题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律零分）1.函数 的最小正周期为 .xxf2sin31)(2.设全集 .若集合 ， ，则 .RU,31A32|xB)(BCAU3.若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 z= .zizi4.设 为 的反函数，则 .)(1xf12xf )(1f5.若线性方程组的增广矩阵为 解为 ，则 .0321c53yx21c6.若正三棱柱的所有棱长均为 ，且其体积为 ，则 .a6a7.抛物线 上的懂点 到焦点的距离
2、的最小值为 1，则 .)(2pxyQp8. 方程 的解为 .2)3(log59log121x9.若 满足 ，则目标函数 的最大值为 .yx,0fy10. 在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.11.在 的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）.62)1(x12.已知双曲线 1C、 2的顶点重合， 1C的方程为 142yx，若 2C的一条渐近线的斜率是 1的一条渐近线的斜率的 2 倍，则 2的方程为 13.已知平面向量 、 、 满足 ，且 ，则 的最大abcba3,21|,|c|cba值是 14.已
3、知函数 .若存在 ， ， ， 满足 ，且xfsin)(12xm6021mxx，则|)(|)(|)(| 13221 fffxf ),(N的最小值为 m二选择题（本大题共 4 小题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律零分.15. 设 、 ，则“ 、 均为实数”是“ 是实数”的（ ）.1zC21z221zA. 充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件16. 下列不等式中，与不等式 解集相同的是（ ）.2382xA. B. )3)(82xx )32(8xxC. D. 12 1217. 已
4、知点 的坐标为 ，将 绕坐标原点 逆时针旋转 至 ，则点 的A)1,34(OA3OB纵坐标为（ ）.A. B. C. D. 23252118. 设 是直线 与圆 在第一象限的交点，则极),(nyxP)(1Nnyx2yx限 ( ).1limnA. B. C. D. 212三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分 12 分)如图，圆锥的顶点为 ，底面圆为 ，底面的一条直径为 ， 为半圆弧 的中POABCAB点， 为劣弧 的中点，已知 ，求三棱锥 的体积，并求异面EACB2,1APO直线 和 所成角的大小.PO20（
5、本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.已知函数 ，其中 为常数21()fxaa(1)根据 的不同取值，判断函数 的奇偶性，并说明理由；()fx(2)若 ，判断函数 在 上的单调性，并说明理由.(1,3)1,221. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.如图， 三地有直道相通， 千米， 千米， 千米，现甲、,OPQ3OP4Q5O乙两警员同时从 地出发匀速前往 地，经过 小时，他们之间的距离为 （单位：千t ()ft米）.甲的路线是 ，速度为 千米/小时，乙的路线是 ，速度为 千米/
6、小时，乙到5P8达 Q 地后在原地等待.设 时，乙到达 地， 时，乙到达 地.1t2tQ(1)求 与 的值；1t()f(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米，当 时，求 的表达式，12t()ft并判断 在 上的最大值是否超过 3？说明理由.()ft12,t22. （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 6 分.已知椭圆 ，过原点的两条直线 和 分别与椭圆交于点 、 和 、21xy1l2ABC，记 的面积为 .DAOCS(1)设 ，用 、 的坐标表示点 到直线 的距离，并证明12(,)(,)AC1l；2Sxy（2）
7、设 ， ， ，求 的值;1:lkx3,13Sk(3)设 与 的斜率之积为 ，求 的值，使得无论 和 如何变动，面积 保持不1l2m1l2S变.23. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分, 第 3小题满分 8 分.已知数列 与 满足 .nab112(),*nnabN(1)若 且 ,求 的通项公式;35,1(2)设 的第 项是最大项,即 ,求证: 的第 项是最大项;n00()nnb0(3)设 , ,求 的取值范围,使得对任意 ，1a(*)nbN,*mN，且0n,6mn答案一、1. 2.1.4 3. 4. 5.16 6. 4 7. 2 8.
8、 2 142i239. 3 10. 120 11.240 12. 13. 14.8214xy35提示：1.因为 ，所以 ，所以函数x2cos1sin2 xxf 2cos)2cos(31)(的最小正周期为 .)(xf 2.3.4.因为 为 的反函数， ，解得 ，所以 .)(1xf12xf 21x32x32)(1f5.由题意， 是方程组 的解，所以 ，所以53y23cy52c.1621c6.依题意， ，解得 .3162a4a7.依题意，点 为坐标原点，所以 ，即 .Qp28.9.10.11.由 ，令 ，所以 ，所以常数项rrrrr xCxCT366261)1( 0r2r为 .240612.13.1
9、4.因为函数 对任意 ， ，xfsin)(ijx),321,(m，)(|)(| minafxfji欲使 取得最小值，尽可能多的让 取得最高点，考虑m),xi，6021mxx按下图12|)(|)(|)(| 132 mxffffff ),(N取值满足条件，所以 的最小值为 8.二、15 .A 16.B 17.D 18.A提示：15.16.因 为 ， 可能是正数、负数或零，所以由02)1(32xx 8x可得 ，所以不等式 解集相同的是)32(8xx 2382x2382x，选 B.17.18.因为 是直线 与圆 在第一象限的交点，),(nyxP)(12Nnyx22yx而 是经过点 与 的直线的斜率，由
10、于点 在圆 上.来源:学科1n),(n,A)1,(A22yx网 ZXXK因为 ，所以 .OAk1limnxy1OAk三、19.解 23PAOCV因为 ,所以 为异面直线 与 所成的角或其补角EPE由 ,得 ,2,1POAC5P2AC在 中，由余弦定理得 ,故异面直线 与 所成的角的大小为10cosPOE10arcos20.解（1） 的定义域为 ,关于原点对称，()fx0,xR，221()faa当 时， 为奇函数0()(fxf当 时，由 ，知 ，故 即不是奇函数也1,1)(1)(ff()fx不是偶函数。（2）设 ，则12x，221212121() ()()ffaxxax由 ，得 0， 2 4,
11、1 4，12x 21122，又 1 3,所以 2 12,124 -a2()ax得 - 0，从而 0，即 ，故当 时，12()ax121()ff21()ffx (1,3)a在1,2上单调递增。f21.解（1） 138t记乙到 P 时甲所在地为 R，则 OR= 千米。158在 中，PR 2=OP2+OR22OPORcos O,所以 （千米）OA13()418ftPR（2） ,78t如图建立平面直角坐标系。设经过 小时，甲、乙所在位置分别为 M,N.t当 时，37,8t(3,4)N(,83),Mtt222()t)t5418ft t在 上的最大值是 ，不超过 3ft37,838f22.证（1）直线 ：
12、 ，点 到 的距离1l0yxC1l12yxd因为 ，21OAxy所以 .121Sdxy解（2）由 ,得2ykx12k由（1）， 121112336kSyx由题意， ，解得 或-12316k15k解（3）设 ： ，则 ： . 1lyx2lmyxk设 ,A()x2C()由 ，得21yk21xk同理 、222xmk由（1）,= ,21212 112kmxSxyxxk22km整理得 4222(8)(6)(8)0SS由题意知 S 与 k 无关，则 ，得 ，所以281046Sm2112m23.解(1)由 ，得 ，13nb1na所以 是首项为 1，公差为 6 的等差数列，a故 的通项公式为 = ,nn5NA
13、证（2）由 ，得112nnb12nnab所以 为常数列， ，即ab 12ab因为 ， ,所以 ，即 0nNA011nn0n故 的第 项是最大项解（3）因为 ，所以 ，nb112()nna当 时， +2n-n-na21a= 1122nn23= 当 时， ，符合上式1n3a所以 2n因为 0，且对任意 , ，故 0，特别地 013anNA1,6nana2于是 ,2此时对任意 ，nNA0na当 0 时， ，由指数函数的单调性12221121,ann知，的最大值为 ，最小值为 ，由题意， 的最大值及最小值分na20a13amna别为。由 及 6,解得123a163204综上所述， 的取值范围为 .,04
