2015山东卷理科数学

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1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第卷和第卷两部分，满分 150 分.考试用时 120 分钟.第卷（共 50 分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小 题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.已知集合 A=X|X-4X+30,b0 ）的渐近线与抛物线 C2： X2=2py(p0)交于 O，若OAB 的2xyab垂心为 C2的焦点，则 C1的离心率为 .三、解答题(本大题共 6 小题 ，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.（本小题满分 12 分）设 f（x）= 2（x+ ）.sincosx4（1）求

2、f（x）的单调区间；（2）在锐角ABC 中，角 A,B,C,的对边分别为 a,b,c,若 f（ ）=0,a=1,求ABC 面2A积的最大值.17.(本小题满分 12 分)如图，在三棱台 DEF-ABC 中，AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点.（1）求证：BC/平面 FGH；（2）若 CF平面 ABC，ABBC，CF=DE, BAC= ,求045平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角（锐角）的大小.18.（本小题满分 12 分）设数列 的前 n 项和为 .已知 2 = +3.anSn3 （1）求 的通项公式；na（2）若数列 满足 ，求 的前 n 项和 .b23=lognabT1

3、9.（本小题满分 12 分）若 是一个三位正整数，且 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数n字，则称 为“三位递增数” （如 137，359，567 等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得 分；若能被 10 整除，得 1 分.（1）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ；（2）若甲参加活动，求甲得分 的分布列和数学期望 .XEX20.（本小题满分 13 分）平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率

4、为 ，左、右焦点分别是 .以 为圆心以 3 为半径的圆与以 为圆心 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 上.(1)求椭圆 的方程；（2）设椭圆 为椭圆 上任意一点，过点 的直线交椭圆 于 两点，射线 交椭圆 于点 .( i )求 的值；（ii）求 面积的最大值.21.(本小题满分 14 分) 设函数 ，其中 。2()=+1)(-)fxInxR（1）讨论函数 极值点的个数，并说明理由；f（2）若 0， 成立，求 的取值范围。0参考答案一、选择题1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.B 9.D 10.C二、填空题11. 12. 1 13. 14. 15. 62323三、解答题1

5、6. 解：（1）由 1111()sincos()sinsin2i22fxxxx由 得 ，2,kkZ,4kkZ则 的递增区间为 ；()fx,4由 得 ，32,kk3,4kxk则 的递增区间为 .()fx,Z（2）在锐角 中， , ,而ABC11()sin0sin22fA6A1,a由余弦定理可得 ，当且仅当 时等号成立，1co3()6bbcbcbc即 ， ，32bc13sinsi264ABCS 故 面积的最大值为 .ABC417. （1）证明：连接 DG，DC，设 DC 与 GF 交于点 T.在三棱台 中， 则DEF2,ABDE2,CF而 G 是 AC 的中点，DF/AC，则 ,/DFGC所以四边

6、形 是平行四边形 ,T 是 DC 的中点，DG/FC.DCF又在 ,H 是 BC 的中点，则 TH/DB，B又 平面 ， 平面 ，故 平面 ；HT/BFH（2）解：由 平面 ,可得 平面 而ABA,45,BCA则 ,于是 两两垂直，G,G以点 G 为坐标原点， 所在的直线C分别为 轴建立空间直角坐标系，,xyz设 ,则 ,2AB1,2,DEFA，2(0,),(,0)(,)(,0)CH则平面 的一个法向量为 ，10,n设平面 的法向量为 ，则 ,即 ，FGH22(,)xyz20nGF220xyz取 ，则 ， ，21x2,yz2(1,)n，故平面 与平面 所成角（锐角）的大小为 .12cos,nG

7、HACD6018. 解：（1）由 可得 ，3nS1(3)2aS11()()2nnnna而 ，则131,3.na（2）由 及 可得3lognnb1,.n31,log,.nnab.2311n nTzxyFDEA GBHC23411233n nnT22311()139923128nnnnn134nT19. 解：（1）125,135,145,235,245,345；（2）X 的所有取值为-1,0,1.321284443 399 9211(0),(),()CCCPPXPX甲得分 X 的分布列为X 0 -1 1P 2314421()42E20.解：（1）由椭圆 的离心率为 可知 ，而2:1(0)xyCab

8、3232cea则 ，左、右焦点分别是 ,22abc,3abc1(,0)()Fb圆 ： 圆 ： 由两圆相交可得 ，即1F2(3)9xy2F2(3)xby34b，交点 ，在椭圆 C 上，则 ，b2(,1()b221()413b整理得 ，解得 （舍去）42502,14b故 椭圆 C 的方程为 .21,b,a2xy（2） （）椭圆 E 的方程为 ，2164xy设点 ，满足 ，射线 ，0(,)Pxy20 0:()yPOx代入 可得点 ，于是 .21640(,)Qxy2200()| yQx（）点 到直线 距离等于原点 O 到直线 距离的 3 倍：0(,)xyABAB22| |311kmdk，得 ，整理得2

9、64yx224()6x22(14)84160kxm22221()()0km222| 64)4ABkm222221| |164|3164mkSdk ，当且仅当 等号成立.264()mk222| ,8而直线 与椭圆 C： 有交点 P，则yx214xy有解，即 有解，24k2222(),(4)840kmkxm其判别式 ，即 ，则上述222161416)21km不成立，等号不成立，28mk设 ，则 在 为增函数，2|(0,14t22|466()1mkSt(0,1所以当 时 ，故 面积最大值为 12.214kmax6(41)63SABQ21.解：法一：（1） ，定义域为 ，2()lnfx(1,)，2)(

10、)211axfxax设 ，g当 时， ，函数 在 为增函数，无极值点.0a()1,()0xfx()fx1,)当 时， ，22898aa若 时 ， ，函数 在 为增函数，无极值点.9(),()gf()fx,)若 时 ，设 的两个不相等的实数根 ，且 ，8a00x1212x且 ，而 ，则 ，12x(1)14x所以当 单调递增；1(,()xgff当 单调递减；2)(0()x当 单调递增.(,()xff因此此时函数 有两个极值点；()fx当 时 ，但 ， ，0a10g12x所以当 单调递増；2(,)(,(),()xxff当 单调递减.x所以函数只有一个极值点。综上可知当 时 的无极值点；当 时 有一个

11、极值点；当 时，809a()f 0a()fx89a的有两个极值点.()fx（2）由（1）可知当 时 在 单调递增，而 ，()fx,)()0f则当 时， ，符合题意；(0,)x()0f当 时， ， 在 单调递增，而 ，819a2(0),gx()f0,)(0)f则当 时， ，符合题意；(,xf当 时， ，所以函数 在 单调递减，而 ，2),x()fx2,)()f则当 时， ，不符合题意；2(0,x(0f当 时，设 ，当 时 ，a)ln1)hx(0,)x1(0xhx在 单调递增，因此当 时 ，()hx,0,ln()所以 ，当 时 ，22()()fxax1a21xa此时 ，不符合题意.()0综上所述，

12、 的取值范围是 .a01法二：（1） ，定义域为2()ln)()fxax(1,)，2()211xafx当 时， ，函数 在 为增函数，无极值点.0a()0fx()f,)设 ，2 22()1,(),8(98gagaa当 时，根据二次函数的图像和性质可知 的根的个数就是函数 极值点的个数.)0gx()fx若 ，即 时， ， 函数在 为增函数，无极值(98)09(f1,点.若 ，即 或 ，()a8a0而当 时 此时方程 在 只有一个实数根，此时函数 只有一个01g()gx(1,)()fx极值点；当 时方程 在 都有两个不相等的实数根，此时函数 有两个极值点；89a()0x(,)()f综上可知当 时 的极值点个数为 0；当 时 的极值点个数为 1；当 时，f a()fx89a的极值点个数为 2.()fx（2）设函数 ， ，都有 成立.2()ln1)()fxax0()0fx即 2ln(10a当 时， 恒成立；xl当 时， ， ；2x2ln(1)0ax当 时， ， ；由 均有 成立。0100xln(1)x故当 时， ， ，则只需 ；x2l()1x(,)a当 时， ，则需 ，即 .综上可知对于 ，n1a0x都有 成立，只需 即可，故所求 的取值范围是 .()0fa01.