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1、 第 1 页 共 12 页2015 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数 z 满足 i，则| z|（ ）1 z1 zA.1 B. C. D.22 3答案：A解析：由 i 得 z i，故|z|1.故选 A.1 z1 z 1 i1 i （ 1 i） （ 1 i）（ 1 i） （ 1 i）2.sin20cos10 cos160sin10（ ）A. B. C. D.32 32 12 12答案：D解析：原式sin20cos10 cos20sin10sin30 .故选 D.
2、123.设命题 p：nN，n 22 n，则p 为（ ）A.nN，n 22 n B.nN ，n 22 nC.nN，n 22 n D.nN ，n 22 n答案：C解析：特称命题的否定为全称命题，即p：nN ，n 22 n.故选 C.4.投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312答案：A解析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 C 0.620.40.6 30.648.23故选 A.5.已知 M（x 0，y 0）是双曲
3、线 C： y 21 上的一点， F1，F 2 是 C 的两个焦点.若 x22 MF1 0，则 y0 的取值范围是（ ）MF2 A. B. C. D.( 33，33) ( 36，36) ( 223，223) ( 233，233)答案：A解析：由题意，不妨令 F1（ ，0） ，F 2（ ，0） ，则 （ x 0，y 0） ，3 3 MF1 3（ x 0，y 0） ，所示 （ x 0，y 0）（ x 0，y 0）x y 3.MF2 3 MF1 MF2 3 3 20 20因为 M（x 0，y 0）是双曲线 C： y 21 上的一点，所以 y 1，即 x 22y . x22 x202 20 20 20于
4、是 x y 33y 10，解得 y 0 .故选 A.MF1 MF2 20 20 2033 336.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依 第 2 页 共 12 页垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（ ）A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛答案：B解析：设米堆底面所在圆的半径为 r，则 23r8，得 r ，故米堆
5、的体积为 14 163 143 5 ，因此堆放的米约为 1.6222（斛）.故选 B.13 (163)23209 32097.设 D 为ABC 所在平面内一点， 3 ，则（ ）BC CD A. B. AD 13AB 43AC AD 13AB 43AC C. D. AD 43AB 13AC AD 43AB 13AC 答案：A解析：由题意知 （ ） .故选 A.AD AC CD AC 13BC AC 13 AC AB 13AB 43AC 8.函数 f（x） cos（x ）的部分图像如图所示，则 f（x）的单调递减区间为（ ）A. ，kZ B. ，kZ(k 14，k 34) (2k 14，2k 34
6、)C. ，k Z D. ，k Z(k 14，k 34) (2k 14，2k 34)答案：D 第 3 页 共 12 页解析：由五点作图可知 解得 ， ，所以 f（x）cos .14 2，54 32，) 4 (x 4)令 2k x 2k ，k Z，解得 2k x2k ，kZ，故单调递减区间为4 14 34，k Z.故选 D.(2k 14，2k 34)9.执行如图所示的程序框图，如果输入的 t0.01，则输出的 n（ ）A.5 B.6 C.7 D.8答案：C解析：执行第 1 次，t0.01，S1，n0，m 0.5，SSm 0.5，m 0.25，n1，S0.5t 0.01，是，12 m2循环.执行第
7、2 次，SSm0.25 ，m 0.125，n2，S 0.25t 0.01，是，循环.m2执行第 3 次，SSm0.125 ，m 0.0625，n3，S 0.125t 0.01，是，循环.m2执行第 4 次，SSm0.0625 ，m 0.03125，n4， S0.0625t 0.01，是，循环.m2执行第 5 次，SSm0.03125 ，m 0.015625，n 5，S0.03125t 0.01，是，m2循环.执行第 6 次，SSm0.015625 ，m 0.0078125，n 6，S0.015625t 0.01，是，m2循环. 第 4 页 共 12 页执行第 7 次，SSm0.0078125，
8、m 0.00390625，n7，S0.0078125 t 0.01，否，结束循环，m2输出 n7.故选 C.10.（x 2xy） 5 的展开式中， x5y2 的系数为（ ）A.10 B.20 C.30 D.60答案：C解析：（x 2xy ） 5（x 2x）y 5，其展开式的通项为 Tk1 C （x 2x） 5k yk，k5根据题意，令 k2，即 T3C （x 2x） 3y2.又（x 2x ） 3 展开式的通项为 T C （x 2）25 r 1 r33r xrC x6r ，令 r1，即 T C x5.由上可知，x 5y2 的系数为 C C 30.故选 C.r3 2 13 25 1311.圆柱被一
9、个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 1620，则 r（ ）A.1 B.2 C.4 D.8答案：B解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，其中圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为 2r.该几何体的表面积为4r2 r2rr 22r2 r5r 24r 21620，解得 r2.故选 B.1212.设函数 f（x ）e x（2x1）axa，其中 a1，若存在唯一的整数 x0，使得 f（x 0）0，则 a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 32e，1) 32e，34) 32e，34) 32e，
10、1)答案：D解析：设 g（x）e x（2x 1） ，h（x ）axa，由题意知存在唯一的整数 x0，使得g（x 0）h（x 0）.对 g（x）e x（2x 1）求导数得 g（x）e x（2x 1） ，当 x 时，g（x）12 第 5 页 共 12 页0，g（x）单调递减；当 x 时，g（x ）0，g（x）单调递增.且当 x 时，g（x）12 120；当 x 时，g（x ）0；当 x 时，g（x）0.因此，大致作出函数 g（x ）的图象如图12 12所示.对于 h（x）ax a，表示恒过（1，0）点的直线，当 a0 时，显然存在无数个整数使得 g（x）h（ x） ，因此 0 a1.大致作出 h（
11、x ）ax a（0a1）的图象，如图所示.由图可知，若存在唯一的整数 x0，使得 g（x 0）h（x 0） ，则有即 解得 a 1.故选 D.g（ 0） h（ 0） ，g（ 1） h（ 1） ， ) 1 a， 3e 2a， ) 32e第 II 卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13.若函数 f（x ）xln（x ）为偶函数，则 a_.a x2答案：1解析：由题意知函数 yln（x ）是奇函数，则 ln（x ）ln（xa x2 a x2）a x2lna0，解得 a1.14.一个圆经过椭圆 1 的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标准方程为x216 y24_.答案： y 2(x
12、12)2 254解析：设圆的圆心为（ a，0） ，则半径为 4|a|，则（4|a|） 2|a| 22 2，解得a ，故圆的方程为 y 2 .32 (x12)225415.若 x，y 满足约束条件 则 的最大值为 _.x 1 0，x y 0，x y 4 0，) yx答案：3解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， 是可行域内一点与原点连yx线的斜率.由图可知，点 A（1，3）与原点连线的斜率最大，故 的最大值为 3.yx 第 6 页 共 12 页16.在平行四边形 ABCD 中，ABC 75，BC2，则 AB 的取值范围是_.答案：（ ， ）6 2 6 2解析： 如图所示，延长 BA，CD 交于点 E，则在ADE 中，DAE105，ADE45，E30.设 ADx（0x2） ，由正弦定理可得 AE x.2于是 ABBEAE x x（ ， ）.1sin15 2 6 2 2 6 2 6 2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 第 7 页 共 12 页 第 8 页 共
