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1、12015 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)一、选择题：本大题共 8 个小题 ,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合 |(4)10Mx=+=， |(4)10Nx-=，则 MN=A B , C D,42若复数 32zi ( i是虚数单位 )，则 zA B 32i C 23i D i3下列函数 中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A xey B xy1 C x21 D 24袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球.从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为A1
2、 B. 2 C. 210 D. 2155平行于直线 0yx且与圆 52yx相切的直线的方程是A 52或 0 B. 05yx或 05yx C. yx或 52yx D. 2或 26若变量 ， 满足约束条件 203184y则 yxz的最小值为A 531 B. 6 C. 53 D. 47已知双曲线 C： 12byax的离心率 4e，且其右焦点 2,0F，则双曲线 C的2方程为A 1342yxB. 1962yxC. 1692yxD. 1432yx8若空间中 n个不同的点两两距离都相等，则正整数 n的 取值A大于 5 B. 等于 5 C. 至多等于 4 D. 至多等于 3第卷(共 110 分)二、填空题：
3、本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30分.(一)必做题(913 题)9在 41x的展开式中， x的系数为 10在等差数列 na中，若 2576543aa，则 82a= 11设 ABC的内角 ， ， C的对边分别为 ， b， c，若 3， 1sin2B，6，则 b 12、某高三毕业班有 40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言 （用数字作答）13、已知随机变量 服从二项 分布 ,np，若 30， D20，则 p (二)选做题(1415 题，考生从中选做一题)14(坐标系与参数方程选做题) 已知直线 l的极坐标方程为 24sin(2），
4、点 A的极坐标为 72,4A，则点 A到直线 l的距离为 15.（几何证明选讲选作题）如图 1，已知 B是圆 O的直径， 4AB， EC是圆 O的切线，切点为 C， B，过圆心 做 C的平行线，分别交 和 于点 D和点 P，则 OD . 图1POEDAB3三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.16 （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xoy中，已知向量 2,m， sin,cox， 0,2.（1）若 mn，求 tan x 的值；（2）若 与 的夹角为 3，求 的值.17.（本小题满分 12 分）某工厂 36 名工人的年龄数据如下表.工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄
5、工人编号 年龄1 402 443 404 415 336 407 458 429 4310 3611 3112 3813 3914 4315 4516 3917 3818 3619 2720 4321 4122 3723 3424 4225 3726 4427 4228 3429 39来源:Zxxk.Com30 4331 3832 4233 5334 37来源:学.科.网35 4936 39（1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的平均值 x和方差 2s；（3）36 名工人中年龄在
6、s与 之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01）？18 （本小题满分 14 分）如图 2，三角形 PDC所在的平面与长方形 ABCD所在的平面垂直，4PDC=， 6AB=， 3.点 E是 边的中点，点 F、 G分别在线段 AB、B上，且 F， 2G.（1）证明： E；4（2）求二面角 PADC-的正切值；（3）求直线 与直线 FG所成角的余弦值. 图2ADCBHFGE19 （本小题满分 14 分）设 1a，函数 aexf)1()2.来源:学+科+ 网(1) 求 (xf的单调区间 ；(2) 证明： )在 ,上仅有一个零点；(3) 若曲线 ()yfx=在点 P处的切线与 x轴平行，且在点
7、(,)Mmn处的切线与直线OP平行（ 是坐标原点）,证明： 123eam20 （本小题满分 14 分）已知过原点的动直线 l与圆 21:650Cxy+-=相交于不同的两点 A， B.（1）求圆 1C的圆心坐标；（2）求线段 AB的中点 M的 轨迹 的方程；（3）是否存在实数 k，使得 直线 :(4)Lykx=-与曲线 C只有一个交点：若存在，求出 k的取值范围；若不存在，说明理由.21 （本小题满分 14 分）数列 na满足 121 24nna , *N.(1) 求 3的值；(2) 求数列 n前 项和 nT；来源:学,科,网 Z,X,X,K(3) 令 1ba， 11223n na，证明：数列
8、nb的前 项和 nS满足 nl252015 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)1、选择题1.因为 ， ，所|4104,1Mx|410,4Nx以 ，故选 AN2.因为 ，所以 ，故选 D32ziiz23i3.令 ，则 ， 即 ，xfe1fe1fe1ff，所以 既不是奇函数也不是偶函数，而 BCD 依次是奇函数、偶1xy函数、偶函数，故选 A4.从袋中任取 2 个球共有 种，其中恰好 1 个白球 1 个红球共有 种，所2150C105C以恰好 1 个白球 1 个红球的概率为 ，故选 B=25.设所求切线方程为 ，依题有 ，解得 ，所以所求切线20xyc2051c5c的直线方程为
9、或 ，故选 D556. 不等式所表示的可行域如下图所示，xyOAl由 得 ，依题当目标函数直线 ： 经过 时，32zxy32zxl32zyx41,5A取得最小值即 ，故选 Cmin4315z67. 因为所求双曲线的右焦点为 且离心率为 ，所以 ， ，25,0F54ceac4a所以所求双曲线方程为 ，故选 B229bca2169xy8.正四面体的四个顶点是两两距离相等的，即空间中 个不同的点两两距离都相等，则正n整数 的取值至多等于 ，证明：，故选 Cn4二、填空题(一)必做题(913 题)9.由题可知 ，令 解得 ，所以展开式4421 41rrr rrTCxx12r中 的系数为 ，故应填入 .
10、x24610.因为 是等差数列，所以 ，na3746285aaa即 ， ，故应填入 .34567525101011.因为 且 ，所以 或 ，又 ，所以 ，1si2B0,6B6C6B，又 ，由正弦定理得 即 解得3ACasiniabA32sinib，故应填入 .1b12.依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 人中任选两人的排列数，所以全班共40写了 条毕业留言，故应填入 .240391560A15613.依题可得 且 ，解得 ，故应填入 .EXnp2DXnp13p(二)选做题(1415 题，考生从中选做一题)14.依题已知直线 ： 和点 可化为 ： 和l2si47,4Al10xy，所以点 与
11、直线 的距离为 ，故应填入 .2,AAl215d5215. 如下图所示，连接 ，因为 ，又 ，所以 ，又 为OC/DBCAOPAC线段的中点，所以 ，在 中， ，由直角三角B12PRtO12B7形的射影定理可得 即 ，故应填入 .2OCPD281OCPABCDEOP. 三、解答题.16.17.818.X.（1）证明： PDC且点 E为 D的中点， PE，又平面 平 面 AB，且平面 PC平面 ABDC， PE平面 C， 平面 AB，又 FG平面 ， F；（2） ABCD是矩形， ，又平面 P平面 ABCD，且平面 P平面 ABCD， 平面 ， A平面 ，又 、 平面 ， DC， ， P即为二面
12、角 PADC的平面角，PA BCD EFG9在 RtPDE中， 4， 132DEAB， 27PED， 7tan3C即二面角 C的正切值为 3；（3）如下图所示，连接 ， 2AFB， 2G即 2AFGB， /C， P为直线 与直线 所成角或其补角，在 A中， 25PDA， 235CAD，由余弦定理可得 22253495cosPAC， 直线 PA与直线 FG所成角的余弦值为 925【考点定位】本题考查直线与直线垂直、二面角、异面直线所成角等知识，属于中档题19 【解析】 （1）依题 2221 10xxxfxeee， fx在 ,上是单调增函数；PA BCD EFG1020 【解析】 （1）由 265
13、0xy得 234xy， 圆 C的圆心坐标为 3,0；（2）设 ,Mxy，则 点 为弦 AB中点即 1CAB， 1CMk即 3yx，11 线段 AB的中点 M的轨迹的方程为239534xyx；（3）由（2）知点 的轨迹是以 ,02C为圆心 2r为半径的部分圆弧 EF（如下图所示，不包括两端点） ，且 5,3E， 5,3F，又 直线 L： 4ykx过定点4,0D，来源:Z+xx+k.Com当直线 L与圆 C相切时，由 23401k得 34k，又50374DEFk，结合上图可知当 325,47k时，直线 L： ykx与曲线 C只有一个交点【考点定位】本题考查圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用，属于中高档题21.LDxyO CEF12（3）依题由 12112nn naba 知 1b， 122a，
