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1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学（理工类）第 I 卷（选择题共 50 分）一、选择题(本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1、若集合 （ 是虚数单位） ， ，则 等于 234,Aii1,BABA. B. C. D. 1 2、下列函数为奇函数的是A. B. C. D. yxsinyxcosyxxye3、若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且 ，则2:196E12,FPE13PF等于2PFA.11 B.9 C.5 D.34、为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家
2、庭，得到如下统计数据表：收入 （万元）x8.2 8.6 10.0 11.3 11.9支出 （万y元）6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户年收入ybxa0.76,baybx为 15 万元家庭年支出为A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元5、若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ,xy20,xy2zxyA. B. C. D.22236、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为A.2 B.1 C.0 D. 17、若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ ”的 ,lmmlm/lA
3、.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8、若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适,ab20,fxpq,2ab当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于pqA.6 B.7 C.8 D.99、已知 ，若点 是 所在平面内一点，且 1,ABCAttPABC4ABCP，则 的最大值等于PA.13 B.15 C.19 D.2110、若定义在 上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列Rfx01ffx1fxk结论中一定错误的是A. B. C. D. 1fk1fk1fk1fk第 II 卷（非选择题共 100 分）二、填空题(本大题共 5
4、小题，每小题 4 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.)11、 的展开式中， 的系数等于 .（用数字作答）52x2x12、若锐角 的面积为 ，且 ，则 等于 .ABC1035,8ABCB13、如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，函数 ，若在矩形 内, 242fxABCD随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 .14、若函数 （ 且 ）的值域是 6,23log,axf0a14,，则实数 的取值范围是 .a15、一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 ，其中*12nxN称为第 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程1,2kxn k中有时会发生码元错误（即码元由 0 变为 1，
5、或者由 1 变为 0）已知某种二元码 的码元满足如下校验方程组： 127x45672310,xx其中运算 定义为： .0,1,0,现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成了 1101101，那么利用上述校验k方程组可判定 等于 .k三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（本小题满分 13 分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正
6、确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(I)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(II)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X，求 X 的分布列和数学期望.17.（本小题满分 13 分）如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，AB平面BEG，BEEC，AB=BE=EC=2 ，G ，F 分别是线段 BE， DC 的中点.(I)求证： GF 平面 ADE A(II)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值.18. （本小题满分 13 分）已知椭圆 E： 过点 ，且离心率为 e= .21(a0)xyb+=(,2） 2(I)求椭圆 E 的方程； (II)设直线
7、l： 交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G1xmyR=-， () 9(4-,0)与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.19.（本小题满分 13 分）已知函数 的图象是由函数 的图像经如下变换得到：先将 图像上所有点的纵坐f()x()cosgx=()gx标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） ，再将所得到的图像向右平移 个单位长度.2p(I)求函数 的解析式，并求其图像的对称轴方程；f()x(II)已知关于 的方程 在 内有两个不同的解f()gxm+=0,2)p,ab（i）求实数 m 的取值范围；（ ii）证明：2cos)1.5ab-(20.（本小题满分 14 分）已知函数 ，f(
8、)ln1)x=+(,k),gxR=(I)证明：当 ；0x0(),任 意 ， 恒 有 f()gx；(III)确定 k 的所以可能取值，使得存在 ，对任意的 恒有 .t ,x， t 2|f()|x-0,b0,c0,函数 的最小值为 4.()|fxaxbc=+(I)求 的值 ;abc+(II )求 的最小值为.22149数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题1.C 2.D 3.B 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C二、填空题11. 80 12. 7 13. 14. 15.5512(1,2三、解答题16.解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A，则 P（A）= =
9、p564312（2）依题意得，X 所有可能的取值是 1，2，3又 15542(),(),(X=)1.663P所以 X 的分布列为17.解法一：（1）如图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD ，又 G 是 BE 的中点，所以 GH/AB,且 GH= AB，又 F 是 CD 中点， ，1DFC2所 以由四边形 ABCD 是矩形得，AB/CD，AB=CD所以 GH/DF.且 GH=DF从而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 GF/DH，又 ，所以 .(2)如图，在平面 BEG 内，过点 B 作 BQ/EC,因为 BE 丄 CE,所以 BQ 丄 BE又因为 AB 丄平面 BEC，所以 AB 丄
10、BE，AB 丄 BQ以 B 为原点，分别以 的方向为 x 轴，y 轴， z 轴的正方向,EQA建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1)因为 AB 丄平面 BEC，所以 为平面 BEC 的法向量，=(B0,2)设 为平面 AEF 的法向量.又(x,yz)n= E(,0-)AF=(2,-1)，由 取 得 .2z=(,-1)n从而所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为 .2318解法一：(I)由已知得所以椭圆 E 的方程为 .214xy+=(II)设点 AB 中点为 .12(),B),A0H(,y)x由 得(m 2+2)y2 -
11、 2my-3=042yx所以 从而 .12123+=,+， 02ym=+所以 .22000000955GH|()y()(1)y+4416x2222111|AB4y-=,22211012(m+)y)4(m+)y)-故2 2201222|553(+517|GH() 046()6(m)+-=所以 ，故 G 在以 AB 为直径的圆外.|AB|29(-,)解法二：(I) 同解法一 .(II)设点 ，则12(y),),x1299A(,)GB(,).44xyxy=+=+由 得(m 2+2)y2 - 2my-3=0 所以42 12123,m，从而 1212121295GAB()(y)()44x y=+=+=
12、2121222535()y()6()6m-270()+=所以 不共线，所以 为锐角.cosGA,B0,G又 ， AGB故点 G 在以 AB 为直径的圆外.9(4-)19. 解法一：(I)将 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）得到()cosgx=的图像，再将 的图像向右平移 个单位长度后得到 的图像，y2cosx=y22pycos()xp=-故 f()in从而函数 图像的对称轴方程为 x=kp+ (kZ)2six 2p(2)1) 1f()gincos5(sincos5xx+=2i()i,5xjjj+=其 中依题意， 在区间 内有两个不同的解 当且仅当 ，故 m 的取值范围sin()=5mxj+0,2)p,ab|1|a+=fxabc+又已知 （ ）的最小值为 4，所以 a+b+c=4fx(II)由(I) 知 ，由柯西不等式得abc,
