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1、时间平均和各态历经性,主讲人：张有光电 话：82314978办公室：新主楼F806,第四讲,背景知识,维纳预测问题设有零均值实平稳过程 ，现在的问题是要利用已知值 预测未来值 ，为常量，也即 选择 使得：,随机过程数字特征的重要性,均值、自相关函数怎样获得？ 在这个例子中，只能获得飞机过去一段时间的飞行轨迹，也就是说能否用一个样本来获得平稳随机过程的均值和自相关函数？ 这就需要证明每个样本的时间均值等于该随机过程的均值！,举例说明回顾大数定律,切比雪夫大数定律 独立同分布，均值和方差都存在,例 2.3-2,设Y是均值为零、方差为 的随机变量，定义一个随机过程 则 的统计特性与 t 无关。因此是
2、严格平稳随机过程，由于二阶矩存在肯定是广义平稳。但是时间平均与集平均不一定相同,主要内容,一、时间均值与集平均基本概念二、均值各态历经性定理三、自相关函数各态历经性定理四、估计均值和自相关函数的方法,一、时间均值与集平均基本概念,1、集平均2、时间平均3、时间平均和集平均的关系4、各态历经性（遍历性）的概念,1、集平均的概念,集平均-Ex(t)，又称统计平均，是指对一族样本进行的均值估计。取集平均的方法需要的工作量大，处理方法复杂，在实际中不便操作。,2、时间平均的数学定义,设x(t)是随机过程X(t)的一个样本函数，则称极限,为随机过程X(t)的一个时间平均。 由于样本的任意性 ，一般来说它
3、是一个随机变量。,时间平均的观测便于实际操作,时间相关函数,将,定义为X(t)的时间相关函数。,3、时间平均和集平均关系,4、各态历经性的定义条件1,设X(t)是一平稳过程，若,依概率1成立，,即对任意的0，有,则称过程X(t)的均值具有各态历经性。,条件2,若,依概率1成立，即对于任意的0，有,则称过程X(t)的自相关函数具有各态历经性。,各态历经性,条件1与条件2都满足的情况下，也就是X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性时，称过程X(t)是各态历经过程。,5、举例说明2. 3-1,随机相位余弦波的时间平均 和 自相关函数解：,与2.2-4 比较,三、均值各态历经性,1、均值各态历经性
4、 条件分析2、均值各态历经性 定理,均值各态历经性 条件分析,条件分析： 依概率1成立,首先,从例2.2-5类似方法，需要证明,其次，方差：,积分域进行如图的置换,均值各态历经性 条件分析,故：,代入，得：,均值各态历经性 条件分析,此条件等价为：,由于 依概率1成立的充要条件是：,均值各态历经性定理,平稳过程X(t)的均值具有各态历经性的充分必要条件是：,定理条件的内涵,加权平均,随机序列各态历经性条件,说明：贝努里大数定律切比雪夫（独立同分布，均值和方差）,贝努里大数定律,设 是n次重复独立试验中事件A发生的次数，P是事件A在一次试验中发生的概率，则对任意的 ，,三、自相关函数各态历经性定
5、理,设X(t)是一个平稳随机过程，其子相关函数具有各态历经性的充要条件是：,定理说明,令： 则：,例 2.3-2,设Y是均值为零、方差为 的随机变量，定义一个随机过程 ，则 的统计特性与t无关。因此是严格平稳随机过程。但是不满足均值各态历经性条件。,例 2.3-3 随机电报,自相关函数,代入公式,因此，随机电报信号是均值各态历经的。,例 2.3-4,设A、B是均值为零、方差为 的独立正态随机变量。随机过程,的自相关函数为,例 2.3-5续上例,设 是 的一个代表性的样本函数， 分别是 的样本值。对于这个样本值，其均方的时间平均为：,这说明均值各态历经性不一定自相关也是各态历经性,四、估计均值和自相关函数的方法,1、均值和自相关函数的估计式2、测算均值和自相关函数的方法,1、均值和自相关函数的估计式,在实际应用中，通常只考虑定义在 上的平稳过程X(t)，则,均值和自相关函数的估计式,如果在实际测试中，只在时间区间0,T上进行，则有估计式：,本节课小结,基本概念均值各态历经性定理自相关函数各态历经性定理估计均值和自相关函数的方法,习题,P86第17题P86第21、22、23（用定理来证明）题,
