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1、1算术平均数与几何平均数本资料为 WORD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 文 章来 源 课件 5Y k J.cO m 题目 第六章不等式 算术平均数与几何平均数高考要求 1 了解算术平均数与几何平均数的意义，掌握两个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理及其逆定理 2 能运用定理解决一些简单的数学问题和实际问题 3 在用均值定理解决实际问题时,要理解题意,设变量时要把要求最大值或最小值的变量定为函数,建立相应的函数关系式,在定义域内,求出函数的最大值或最小值 知识点归纳 1常用的基本不等式和重要的不等式（1） 当且仅当 （2） （3） ，则 （4） 2 最值定理: 设 2（1）如积 （
2、2）如积 即:积定和最小，和定积最大 运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 3 均值不等式:两个正数的均值不等式： 三个正数的均值不等是： n 个正数的均值不等式： 4 四种均值的关系：两个正数 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中诸如集合问题，方
3、程(组) 的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明 题型讲解 3例 1 设 a0 ，b0 则下列不等式中不成立的是（）Aa+b+ 2 B (a+b)( + )4C a+b D 解法一：由于是选择题，可用特值法，如取 a=4,b=1, 代入各选项中的不等式，易判断 不成立 解法二：可逐项使用均值不等式判断Aa+b+ 2 + 2 =2 ，不等式成立 B a+b2 0, + 2 0,相乘得: (a+b)( + )4 成立 C a2+b2=(a+b)22ab(a+
4、b)22( )2=( )2又 a+b 成立D a+b2 , = ,即 不成立 故选 D例 2 今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论 解:不对 设左、右臂长分别是 ,物体放在左、右托盘称得重量分别为 真实重量为为 G，则由杠杆平衡原理有：， 得 G2= , G= 由于 ，故 ,由平均值不等式 知说法不对 4真实重量是两次称量结果的几何平均值 点评 :本小题平均值 不等, 杠杆平衡原理知识、数学化能力及分析问题、解决问题的能力，属跨学科（数学、物理）的创新问题 例
5、3 设 x0, y0, x2+ =1,则 的最大值为分析 : x2+ =1 是常数 , x2 与 的积可能有最大值可把 x 放到根号 里面去考虑, 注意到 x2 与 1+y2 的积,应处理成2 x2 解法一 : x0, y0, x2+ =1 = = = = 当且仅当 x= ,y= (即 x2= )时, 取得最大值 解法二 : 令 (0 )则 =cos = = 当 = ,即 = 时 ,x= ,y= 时， 取得最大值 例 4 若 ab0, 求 的最小值 分析 : 的结构不对称,关键是 的分母(a b)b,而(ab)+b=a, 故问题突破口已显然! 也可以逐步进行：先对 b 求最小值 ，然后在对a
6、求最小值 解法一: =(ab)+b2 + 2 2 + =4(ab)b+ 165当且仅当 b=(ab)且(a b)b=2,即 a=2b=2 时取等号,故 的最小值为 16解法二: = 当且仅当 b=(ab)且 ,即 a=2b=2 时取等号,故 的最小值为 16 点评 :在运用均值不等式求最值时,凑出定值是关键!但在定值的过程中, 不一定就能凑出定值来, 实际上,分几步凑也是可以的, 只要每步取等号的条件相同便可 例 5 若 x0,y0,x+y=1, 求证:(1+ )(1+ )9分析 : x+y 常数,xy 可有最大值证法一 : 左边(1+ )(1+ )=1+ + + =1+ + =1+ 1+ =
7、9右边 (当且仅当 x=y= 时取“=”号)证法二： 令 x= y= , 0 左边 (1+ )(1+ )=(1+ )(1+ )=1+ + + =1+ =1+ 1+8=9右边02 0)逆用为 ab( )2 （a,b0 ）等 还要注意“添拆项”技巧和公式等号成立的条件等 3 在用均值定理解决实际问题时,要理解题意,设变量时要把要求最大值或最小值的变量定为函数,建立相应的函数关系式,在定义域内,求出函数的最大值或最小值 学生练习 1 设 a、b0,ab=1, 试比较大小： 2 (填“”,“”或“=”)答案： 2 比较大小：若 ab0, 则 (填“”,“2 若 x, yR+, 且 xy=s, xy=p
8、, 则下列命题中正确的是（ ）A 当且仅当 x=y 时，s 有最小值 2 B 当且仅当 x=y 时，p 有最大值 C 当且仅当 p 为定值时，s 有最小值 2 D 若 s 为定值，则当且仅当 x=y 时，p 有最大值 答案： D4 若 x, yR+, xy4,则下列不等式中成立的是（ ）7A B 1 C 2 D 1答案： B 提示： 2 2 15 下列说法中不正确的是（ ）A 由 a、bR，可得 a2b22ab (a2b2)B 对于命题“a、bR+ ”,把条件改为 a、b 均为非负数后依然成立C 若 ab0, nZ, n1,则 ab D 若 a、b、cR+，则 答案： D提示： = 6 下列不
9、等式中恒成立的是（ ）A ctg tg2 B x 12 C 2 D xyz (x yz=1)答案： B7 当 xR+ 时可得到不等式 x 2, x = 3, 由此可以推广为 x n1, 取值 p 等于（ ）A nn B n 2 C n D n1答案： A 提示：x n1 ，p= nn8 x、y0, xy=1, 且 a 恒成立, 则 a 的最小值为（ ）A /2 B 2 C 2 D 答案： D 提示： 2 = 9 在区间(0, +)上，当 x= 时，函数 y= 3x 有最小值 8答案： 2；9 提示：y= 3x3 =9, 10 函数 y=m2 的值域为 答案： 1, +) 提示：y=m2 = y
10、=(m21) 1211 已知 x、y、z0, 且 xyz=1, 则 的最大值为 ； 最小值为 答案： ；112 已知： ab c=1, a2b2c2=1, 且 abc,则a b 的取值范围是 ；a2b2 的取值范围是 答案： (1, )；( , 1)13 若 a1, b1, c1, ab=10，求证：log aclog bc4lgc, 并指出什么时候等号成立 答案： a=b= 时等号成立 提示：a1, b1, c1, ab=10, log aclog bc=lgc lgc =4lgc, 当lga=lgb 时, 即 a=b= 时等号成立14 若 a0, b0，且 =1, 求证： (I) ab4; (II) 对于一切 nN, (ab)nanbn22n2n 1 成立 提示： (I) =1, ab=( )(ab)=1 14, (II) 当 n=1 时, 左式0 ，右式0，n=1 时成立，假设 n=k时成立，即(ab)kakbk22k2k1, 则当 n=k1 时，(ab)k1ak1bk1=(ab) (ab)kak1 bk 1(ab)(akbk22k2k1) ak1bk 1=abkbak (ab)(22k2k1)922k1422k 42k1=22k22k2, n=k1 时命题成立 课前后备注 文 章来 源 课件 5Y k J.cO m
