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1、1简单的线性规划及实际应用本资料为 WORD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 题目 第七章直线和圆的方程 简单的线性规划及实际应用高考要求 1 了解二元一次不等式表示平面区域 2 了解线性规划的意义 并会简单的应用 知识点归纳 1 二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中，已知直线 Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（ x0，y0） B0 时， Ax0+By0+C0，则点 P（x0，y0）在直线的上方；Ax0+By0+C0，则点 P（x0，y0）在直线的下方 对于任意的二元一次不等式 Ax+By+C 0（或0） ，无论 B 为正值还是负值，我们都可以把 y 项的系数变形为正数 当
2、 B0 时，Ax+By+C0 表示直线 Ax+By+C=0 上方的区域；Ax+By+C0 表示直线 Ax+By+C=0 下方的区域 22 线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域） ；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解 生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题 线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量 x、y；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数 z=f（x ，y ） ；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公
3、共区域） ；（5）利用线性目标函数作平行直线系 f（x，y）=t （t 为参数） ；（6）观察图形，找到直线 f（x ，y ）=t 在可行域上使 t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案 题型讲解 例 1 求不等式x1 +y12 表示的平面区域的面积 分析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积 解： x1+ y12 可化为或 或 或 其平面区域如图 3面积 S= 44=8 点评：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界 例 2 某人上午 7 时，乘摩托艇以匀速 v n mile/h（4v20）从A 港出发到距 50 n mile 的 B 港去，然后乘汽车以匀速 w km/h（
4、30w100）自 B 港向距 300 km 的 C 市驶去 应该在同一天下午 4 至 9 点到达 C 市 设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是 x h、y h （1）作图表示满足上述条件的 x、y 范围；（2）如果已知所需的经费 p=100+3（5x）+2（8y）（元） ，那么 v、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?分析：由 p=100+3（5x）+2（8y）可知影响花费的是3x+2y 的取值范围 解：（ 1）依题意得 v= ，w= ，4v20，30w100 3x10， y 由于乘汽车、摩托艇所需的时间和 x+y 应在 9 至 14 个小时之间，即 9x+y14 因此，满足的点（x
5、，y）的存在范围是图中阴影部分（包括边界） （2）p=100+3 （5x）+2（8y） ，43x+2y=131p 设 131p=k，那么当 k 最大时，p 最小 在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为 的直线 3x+2y=k 中，使 k 值最大的直线必通过点（10，4） ，即当 x=10，y=4 时，p 最小 此时， v=12 5，w=30，p 的最小值为 93 元 点评：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式 然后分析要求量的几何意义 例 3 某矿山车队有 4 辆载重量为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 t 的乙型卡车，有 9 名驾驶员 此车队每天至少要运
6、360 t 矿石至冶炼厂 已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙型卡车每辆每天可往返 8 次 甲型卡车每辆每天的成本费为 252 元，乙型卡车每辆每天的成本费为 160 元 问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?分析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解 解：设每天派出甲型车 x 辆、乙型车 y 辆，车队所花成本费为 z元，那么z=252x+160y，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图 作出直线 l0：252x+160y=0 ，把直线 l 向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在 y 轴上的截距
7、最小 观察图形，可见当直线5252x+160y=t 经过点（2，5）时，满足上述要求 此时， z=252x+160y 取得最小值，即 x=2，y=5 时，zmin=2522+1605=1304 答：每天派出甲型车 2 辆，乙型车 5 辆，车队所用成本费最低 点评：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系 f（x，y）=t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点 例 4 设 ，式中变量 满足条件 求 的最大值和最小值 解：由已知，变量 满足的每个不等式都表示一个平面区域，因此所表示的区域为如图中的四边形 ABCD 当 过点
8、 C 时， 取最小值，当 过点 A 时， 取最大值 即当 时， ，当 时， 例 5 某糖果公司得一条流水线不论生产与否每天都要支付 3000元的固定费用，它生产 1 千克糖果的成本是 10 元，而销售价是每千克 15 元，试问：每天应生产并销售多少糖果，才能使收支平衡，即它的盈亏平衡点是多少？解：设生产 千克的糖果的成本函数为 ，销售 千克的糖果的收益函数为 ，在同一坐标系中画出它们的图像，交点的横坐标就是反映盈亏平衡的产销量，令 ，得 ，6即每天必须生产并销售 600 千克糖果，这条流水线才能做到盈亏平衡，从图中可以看出，当 时， ，表示有盈利，反之则表示亏本 例 6 某人有楼房一幢，室内面
9、积共 180m ，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为 18，可住游客 5 名，每名游客每天住宿费为 40 元，小房间每间面积为 15，可住游客 3 名，每名游客每天住宿费为 50 元，装修大房间每间需要 1000 元，装修小房间每间需要 600 元，如果他们只能筹 8000 元用于装修，且游客能住满客房，它应隔出大房间和小房间各多少间，能获最大利益？解：设应隔出大房间 间和小房间 间，则且 ， 目标函数为 ，作出约束条件可行域：根据目标函数 ，作出一组平行线 当此线经过直线 和直线 的交点 ，此直线方程为 ，由于 不是整数，所以经过整点（3 ，8）时，才是他们的最优解，同时经过整点
10、(0,12) 也是最优解 即应隔大房间 3 间，小房间 8 间，或者隔大房间 0 间，小房间12 间，所获利益最大 如果考虑到不同客人的需要，应隔大房间 3间，小房间 8 间 7小结：简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成 如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决 图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步 一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的
11、非封闭平面区域 第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确 通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值 它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标 学生练习 1 下列命题中正确的是A 点（ 0，0 ）在区域 x+y0 内 B 点（0，0 ）在区域x+y+12x 内 D 点（0 ，1）在区域xy+10 内解析：将（0，0）代入 x+y0，成立 答案： A82 设动点坐标（x，y）满足（xy+1） （x+y 4）0 ，x3，则x2+y2 的最小值为A B C D 10解析：数形
12、结合可知当 x=3，y=1 时，x2+y2 的最小值为 10 答案： D3 不等式组 2xy+10，x 2y10 ， x+y1 表示的平面区域为A 在第一象限内的一个无界区域 B 等腰三角形及其内部C 不包含第一象限内的点的一个有界区域 D 正三角形及其内部答案： B4 点（2，t）在直线 2x3y+6=0 的上方，则 t 的取值范围是_ 解析：（2，t ）在 2x3y+6=0 的上方，则 2（2）3t+60，解得 t 答案：t 5 不等式组 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有_个 解析：（1，1） ， （1，2 ） ， （2，1 ） ，共 3 个 答案：36 （x1）
13、2+（y1 ）2=1 是x1+y11 的_条件 A 充分而不必要 B 必要而不充分 C 充分且必要 D 既不充分也不必要答案： B97（x+2y+1） （xy+4）0 表示的平面区域为A B C D答案： B8 画出以 A（3，1） 、B（1 ，1） 、C（1 ，3）为顶点的ABC的区域（包括各边） ，写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数 z=3x2y 的最大值和最小值 分析：本例含三个问题：画指定区域；写所画区域的代数表达式 不等式组；求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值 解：如图，连结点 A、B、C，则直线 AB、BC、CA 所围成的区域为所求ABC
14、 区域 直线 AB 的方程为 x+2y1=0，BC 及 CA 的直线方程分别为xy+2=0，2x+y5=0 在ABC 内取一点 P（1 ，1） ，分别代入 x+2y1，xy+2 ，2x+y 5得 x+2y10，x y+20，2x+y50 因此所求区域的不等式组为x+2y10，xy+20，2x+y50 作平行于直线 3x2y=0 的直线系 3x 2y=t（t 为参数） ，即平移直线 y= x，观察图形可知：当直线 y= x t 过 A（3，1 ）时，纵截距 t 最小 此时 t 最大，tmax=33 2 （1）=11 ；10当直线 y= x t 经过点 B（1 ，1）时，纵截距 t 最大，此时 t
15、 有最小值为 tmin= 3（1）21=5 因此，函数 z=3x2y 在约束条件x+2y10，xy+20，2x+y50 下的最大值为 11，最小值为5 9 某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每 100 g 含蛋白质 6个单位，含淀粉 4 个单位，售价 0 5 元，米食每 100 g 含蛋白质 3个单位，含淀粉 7 个单位，售价 0 4 元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?解：设每盒盒饭需要面食 x（百克） ，米食 y（百克） ，所需费用为 S=0 5x+0 4y，且 x、y 满足6x+3y8，4x+7y10，x0 ，y0，由图可知，直线 y= x+ S 过 A（ ， ）时，纵截距 S 最小，即 S 最小 故每盒盒饭为面食 百克，米食 百克时既科学又费用最少 10 配制 A、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂 A种药需甲料 3 mg，乙料 5 mg；配一剂 B 种药需甲料 5 mg，乙料4 mg 今有甲料 20 mg，乙料 25 mg，若 A、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?解：设 A、B 两种药分别配 x、y 剂（x 、yN） ，则x1，y
