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1、13 惩罚函数法,其中,13 惩罚函数法,如何求解约束问题？,可行方向法：沿下降可行方向搜索,其他方法？,序列无约束优化算法：通过求解一系列无约束问题的解来近似约束问题的解。,罚函数法是序列无约束问题算法的典型代表。,13.1 外点惩罚函数法,但由于F在可行域D的边界不连续.因此难以直接由求解F的极小值来求问题(13.1.1)的极小点.,罚函数法的基本思想是构造辅助函数F,把原来的约束问题转化为求极小化辅助函数的无约束问题,13.1 外点罚函数法,于是构造辅助函数极为重要！,13.1 外点罚函数法,13.1 外点罚函数法,13.1 外点罚函数法,13.1 外点罚函数法,13.1 外点罚函数法,
2、该问题的可行域D=-,-1,最优解x*= -1,13.1 外点罚函数法,罚因子的选取非常重要!,13.1 外点罚函数法,13.1 外点罚函数法,1.3 收敛性,证明:先证1,13.1 外点罚函数法,证2,(13.1.14),（13.1.15）,13.1 外点罚函数法,将上两式的两端分别相加并整理得,(13.1.16),(13.1.17),最后证3.:,(13.1.18),13.1 外点罚函数法,由(13.1.17)和(1.18)可得:,13.1 外点罚函数法,由(13.1.20)-(13.1.21)知(13.1.19)成立.,13.1 外点罚函数法,证明:根据假设,S是紧集,f(x)是连续函数
3、,因此问题(13.1.1)存在,13.1 外点罚函数法,于是,故可设:,根据P(x)的定义,当xS,P(x)=0,当xS,时,P(x)0.,由引理13.1.1和1.2可知,13.1 外点罚函数法,注意到(13.1.26),可以断言,对每个.存在正正数K(),使得当kK()时有 .,由(13.1.16)可知,13.1 外点罚函数法,由(13.1.28)和(1.29)可知,13.1 外点罚函数法,另一方面,由于f(x)连续,则,又考虑到(13.1.24)和(13.1.30),则,13.1 外点罚函数法,于是,由(13.1.25)得,(13.1.33),13.2 内点罚函数法,13.2.1 基本思想
4、,记可行域为,内点法产生的点列从可行域的内部逼近问题的解,13.2 内点罚函数法,内点罚函数法的基本思想:构造辅助(光滑)函数,13.2 内点罚函数法,保持迭代点含于可行域内部的方法是定义障碍函数,其中B(x)是连续函数,当点x趋向可行域边界时,B(x). 是很小的正数.,这样,当x趋向边界时,函数F(x,)趋于无穷大;否则,由于很小,则函数F(x,)的取值近似f(x).,因此可通过求解下列问题得到原问题的近似解:,13.2 内点罚函数法,两种最重要的形式:,13.2 内点罚函数法,2.2 计算步骤,13.2 内点罚函数法,定义障碍函数,例13.2.1 用内点法求解下列问题,用解析法求解问题,13.2 内点罚函数法,解得,令,13.2 内点罚函数法,2.3. 收敛性,13.2 内点罚函数法,设x*是问题(13.2.1)的最优解.,又知,(13.2.8),13.2 内点罚函数法,故有,从而,(13.2.9),13.2 内点罚函数法,即,(13.2.10),13.2 内点罚函数法,13.2 内点罚函数法,13.2 内点罚函数法,则,上式必为等式.如若不然,不趋于0,故,
