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1、第十二节 (一) 导数的应用,上海新王牌教育,主干知识梳理一、函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为 f(x)0f(x)在(a，b)上为 ,增函数,减函数,二、函数的极值1函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其它点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值,f(x)0,f(x)0,2函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点
2、xb附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值,f(x)0,f(x)0,三、函数的最值1在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值2若函数f(x)在a，b上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值,f(a),f(b),f(a),f(b),基础自测自评1(教材习题改编)若函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a等于()A2B3C4 D5Df(x)3x22ax3，f(3)0，a5.,2(
3、2013浙江高考)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是(),B由导函数图象知，函数f(x)在1，1上为增函数当x(1，0)时f(x)由小到大，则f(x)图象的增长趋势由缓到快，当x(0，1)时f(x)由大到小，则f(x)的图象增长趋势由快到缓，故选B.,3(2012陕西高考)设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点D求导得f(x)exxexex(x1)，令f(x)ex(x1)0，解得x1，易知x1是函数f(x)的极小值点,5已知a0，函数f(
4、x)x3ax在1，)上是单调增函数，则a的最大值是_解析f(x)3x2a在x1，)上f(x)0，则f(1)0a3.答案3,关键要点点拨1f(x)0与f(x)为增函数的关系：f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0，所以f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件2可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f(x0)0是可导函数f(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件例如函数yx3在x0处有y|x00，但x0不是极值点此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点,3可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函
5、数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较,运用导数解决函数的单调性问题,规律方法求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)，令f(x)0，求出它在定义域内的一切实数根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性,跟踪训练1已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)(1)当a
6、2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由,(2)若函数f(x)在R上单调递减，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立ex0，x2(a2)xa0对xR都成立(a2)24a0，即a240，这是不可能的故不存在a使函数f(x)在R上单调递减,运用导数解决函数的极值问题,规律方法求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f(x)0的根；(3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格；(4)由f(x)0根的两侧导数的符号来判断f(x)在这个根处取极值
7、的情况,(2)由(1)知f(x)2x33x212x1，所以f(x)6x26x126(x1)(x2)，令f(x)0，即6(x1)(x2)0，解得x2或x1，当x(，2)时，f(x)0，即f(x)在(，2)上单调递增；当x(2，1)时，f(x)0，即f(x)在(1，)上单调递增从而函数f(x)在x2处取得极大值f(2)21，在x1处取得极小值f(1)6.,典题导入 已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0，1上的最小值,运用导数解决函数的最值问题,所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0，
8、1上单调递增，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1，1上单调递增，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(k1)ek1；当k11时，即k2时，函数f(x)在0，1上单调递减，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(1)(1k)e.,互动探究本题条件不变，求f(x)在区间0，1上的最大值解析当k10，即k1时，函数f(x)在0，1上单调递增所以f(x)在0，1上的最大值为f(1)(1k)e.当0k11，即1k2时，,规律方法求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求
9、函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值,跟踪训练3(2013浙江高考)已知aR，函数f(x)2x33(a1)x26ax.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若|a|1，求f(x)在闭区间0，2|a|上的最小值,解析(1)当a1时，f(x)6x212x6，所以f(2)6.又因为f(2)4，所以切线方程为y6x8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间0，2|a|上的最小值f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)令f(x)0，得到x11，x2a.当a1时，,(理)
10、(2013浙江高考)已知aR，函数f(x)x33x23ax3a3.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)当x0，2时，求|f(x)|的最大值,【创新探究】分类讨论思想在导数中的应用,【思路导析】(1)求出f(1)与f(1)，写出切线方程yf(1)f(1)(x1); (2)通过利用导数研究函数yf(x)在0，2上的单调情况求|f(x)|的最大值，注意对参数a分类讨论【解析】(1)由题意得f(x)3x26x3a，故f(1)3a3.又f(1)1，所以所求的切线方程为y(3a3)x3a4.,列表如下：,(文)(2012山东高考)已知函数f(x)ax2bxln x(a，bR)(1
11、)设a0，求f(x)的单调区间；(2)设a0，且对任意x0，f(x)f(1)试比较ln a与2b的大小【思路导析】第一问中函数f(x)ax2bxln x的单调区间需利用导数来解决，需要对a，b进行分类讨论第二问要根据已知条件和第一问的知识储备，构造新的函数利用单调性来解决,【高手支招】对含有参数的函数在研究其单调区间、极值与最值时，应特别注意参数的不同取值对导数值符号的影响，不确定时要对参数进行分类讨论分类时要做到不重不漏，同时还要注意必须是在函数的定义域内求解,体验高考(理)(2013福建高考)已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方
12、程；(2)求函数f(x)的极值,当x(a，)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值,(文)(2013广东高考)设函数f(x)x3kx2x(kR)(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k0时，求函数f(x)在k，k上的最小值m和最大值M.,解析(1)当k1时，f(x)x3x2x，f(x)3x22x1.方程3x22x10的判别式44380，f(x)0恒成立f(x)的单调递增区间为(，)(2)当k0时，f(x)3x22kx1，方程3x22kx10的判别式4k2434(k23)，,课时作业,
