《偶然与必然思想指导数学解题的七个数学思想》由会员分享，可在线阅读，更多相关《偶然与必然思想指导数学解题的七个数学思想（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【教育类精品资料】,【教育类精品资料 】世间的事物千姿百态,千变万化,有些事物和现象是确定的，有些事物和现象则是不确定的.模糊的或随机的. 随机现象有两个最基本的特征,一是结果的随机性,这是偶然,二是频率的稳定性,这是必然.为了了解随机现象的规律性,产生了概率论这一数学分支.概率所研究的随机现象，研究的过程是在“偶然中寻找“必然，然后再用“必然的规律去解决“偶然”的问题，这其中所体现的数学思想就是或然与必然的思想。随着新教材的实施，高考中对慨率内容的考查已经放在了重要的位置，通过对古典概型,几何朗型,条件报府,互斥事件有一个发生的误率,相互独立事件同时发生的概率, 7 次独立重复试验发生了大次
2、的概率以及随机事件的分布列与数学期望等重点内容，一方面考查基本概念和基本方法，另一方面考查在解决实际问题中能否运用或然与必然的辩证关系，从而体现了或然与必然的思想,下面的例题,可以从求古典概型,几何概型,条件概率及统计等不同的角度反映或然与必然的数学思想. 【例 1】 (古典概型)(2008 北京卷文 18)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到4 马 G 刀四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.(工) 求甲、乙两人同时参加寺岗位服务的概率;开) 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率，【分析及解】( I ) 记甲、乙两人同时参加款岗位服务为事件巨,，那么 加二呈en哲 的概 局即甲、乙两人
3、届时参加也岂位服务的概率是 7IT)设甲.乙两人同时参加同一岗位服务为事件瑟， 开ARD -二 - 地所以，甲、 Z两人不在同-岗位服务的概率是玉忆=1- =，【例 2】(几何概型)2007 海南和宁夏卷,文) 设有关于x 的一元二次方程x+2ar+有=0.I) 著a是从0123四个数中任取的一个数，! 是从012三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.开) 车是从区间0,3 任取的一个数, 必是从区间0,习任取的一个数，求上述方程有实根的概率.【分析及解】设事件 4 为“方程吧+2ar+有=0有实根”当a0，D0时，方程巡+2ar+妨= 0有实根的充要条件为wp .工) 基本事件共 1
4、2 个:(00M0D02D404DG2DG0CGDG23G0OGDGD.其中第一个数表示aw的取值，第二个数表霄的取值.事件4中包含 9 个基本事件,事件4 发生的标率9 3为RD=1-也开) 试验的全部结束所构成的区域为 Ioa3053.构 成 事件4 的 区 域 为w )I0a305有1222所以所求的概率为=一 2 =3x2 wo【例 3】 (几何梳型)把长为米的线段分成三段，能组成三角形的概率是多少?【分析及解】设分成的三段为ma-x-世则x+y民如果这三段能组成三角形，则满足 QI JYA+T几| 解得 x， j 正六 DR|本全二 本77， = RE 并所以，所求的概率为P= Sa
5、 = 图72AQ45【例 4】( 次独立重复试验发生了大次的概率)(2007 江苏卷)某气象站天气预报的准确率为80%6，计算结果保留到小数点后第 2 位):(I ) $次预报中恰有 2 次准确的概率;(I) $次预报中至少有 2 次准确的概率;(II) $次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率.【分析及解】( 工) S次预报中恰有2次准确的概率为ROD=CGx08x(-08证=10x08x02 =005.(I) 5次预报中至少有?次准确的概率为LIERO2BO=-Qx08x(d-08且-Gx08xd-08计=1-000032-0.0064= 099，(ITD“S次预报中恰有
6、2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为08xCix08x(-03 =4x08 x02 s002.【例 5(互斥事件有一个发生的概率)(2008 全国 工卷,理文 20)已知 S 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病. 下面是两种化验方案:方案甲: 逐个化验，直到能确定患病动物为止.方案乙: 先任取 3 只, 将它们的血液混在一起化验. 若结果呈阳性则表明串病动物为这 3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止，若结果呈阴性则在另外 2只中任取工只化验.求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数
7、的概率.【分析及解设4 、少 分别表示依方案甲需化验 1 次、2 次。了表示依方案乙需化验 2 次;4 表示依方案月所请化验次数不少千依方案乙所怖化验次数。依题意知纪与了独立，且卫=十省肌1 二 人RE OO 委- PC)=后 : 2攻 DEL7PCD=PCL+4B)= es25PLD=I-PC) =却=072【例 6 (分布列与数学期望)2008 广东卷,理 17)随机抽取某厂的某种产品200 件, 经质检, 其中有一等品 126 件、二等品 s0 件、三等品 20 件、次品 4件.已知生产 1件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而1件次品亏损 2 万元. 设 1
8、件产品的利润 单位: 万元) 为=.CI) 求的分布列;I) 求1件产品的平均利润即= 的数学期望);(JIT) 经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1% ，一等品率提高为70% . 如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元，则三等品率 最多是多少?【分析及解(I) = 的所有可能取值有 6，2，1，-2:PE=9- 3-063 司 六做三为二 洁 三0过和PCE-D=卫 =0.I， 五(=2人二 0.03260故=的分布列为三 6 2 工 二2己 0.63 0.2S 0.1 0.02 (CI) EE=6x0.63+2x0.25+1x0.1+(-2)x0.02=4.3
9、4-。II) 设技术革新后的三等品率为* ，则此时 !1 件产品的平均利省为ECcD)=6x0.7+2x(L-0.7-0.01-z)+(C2)x0.01=4.76-x(Ox 4.73 ，即4.76-xY 4.73 ，解得x0.03 .所以三等品率最多为 3% . 【例 7(茎叶图 ) (2008 海南,宁夏卷,理,文)从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 2S 根棉花的纤维长度单位: mm )，结果如下:甲品种:271 273 280 285 285 287 292 294 29s 301 303 303307 308 310 314 319 323 32S 32S 328 331 334 337
10、3S2乙品种:284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318318 ”320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356由以上数据设计了如下荃叶图 根据以上荃叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论:加【分析及解】(1) 乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度 (或: 乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度).(2) 甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散，(或: 乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中 稳定)，甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大).(3) 甲品种焰范的纤维长座的中位数为 307mm，乙显种棉花的纤维长度的中位数为318mm-(4) 乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间 (均值附近)，甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值 (352) 外，也大致对称，其分布
