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1、第五节指数函数,三年4考高考指数:1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念，会解决与指数函数性质有关的问题.,1.指数幂的运算、指数函数的图象、单调性是高考考查的热点.2.常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题,考查分类讨论思想和数形结合思想.3.多以选择、填空题形式出现,但若以e为底的指数函数与导数交汇命题则以解答题形式出现.,1.根式(1)根式的概念若_,则x叫做a的n次方根,其中n1且nN*.式子 叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.,xn=a,(2)根式的性质a的n次方根的表示： =_.当n为奇数时
2、, 当n为偶数时, _.,a(nN*),【即时应用】(1)若x4=16,则x的值为_.(2)化简下列各式结果分别为：,【解析】(1) 答案：2(2)-44a-2 -3,2.有理指数幂(1)分数指数幂的含义正分数指数幂： =_(a0,m、nN*,且n1);负分数指数幂： =_=_(a0,m、nN*,且n1).0的正分数指数幂等于_,0的负分数指数幂_.,0,没有意义,(2)有理数指数幂的运算性质aras=_(a0,r、sQ)；(ar)s=_(a0,r、sQ)；(ab)r=_ (a0,b0,rQ).上述有理数指数幂的运算性质，对于无理数指数幂也适用.,ar+s,ars,arbr,【即时应用】(1)
3、判断下列根式与分数指数幂的互化是否正确.(请在括号中填“”或“”)(2)化简 得_.(3)化简 的结果是_.,【解析】(2) =2x2|y|=-2x2y.(3)原式 答案：(1)(2)-2x2y(3)a4,3.指数函数的概念(1)解析式：_.(2)自变量：_.(3)定义域：_.,y=ax(a0,且a1),x,R,【即时应用】(1)判断下列函数是否为指数函数.(在括号中填“是”或“否”)y=32x; ( ) ( )y=ax; ( )y=(2a-1)x( 且a1). ( )(2)若函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则实数a的值为_.,【解析】(2)由已知答案：(1)否 否 否 是(2)2,
4、4.指数函数的图象与性质,R,(0,+),(0,1),y1,0y1,0y1,增函数,减函数,【即时应用】(1)如图是指数函数y=ax;y=bx；y=cx;y=dx的图象,则a、b、c、d与1的大小关系是_.,(2)函数f(x)=3-x-1的定义域、值域分别是_.(3)设y1=40.9,y2=80.48, 则y1,y2,y3的大小关系为_.(4)函数f(x)=ax(a0,a1)在1,2中的最大值比最小值大则a的值为_.(5)函数y=ax-2 012+2 012(a0,且a1)的图象恒过定点_.,【解析】(1)在图中画出直线x=1,分别与交于A、B、C、D四点,是A(1,a),B(1,b),C(1
5、,c),D(1,d),由图象可知cd1ab.,(2) 定义域为R， 故值域为(-1,+).(3)y1=40.9=21.8,y2=80.48=(23)0.48=21.44,y3=21.5,函数y=2x是增函数,又1.81.51.44,y1y3y2.(4)当0a1时，有 解得： (5)y=ax(a0且a1)恒过定点(0,1),y=ax-2 012+2 012恒过定点(2 012,2 013).,答案：(1)ba1dc(2)R,(-1,+)(3)y1y3y2(4) (5)(2 012,2 013),幂的运算【方法点睛】幂的运算的一般规律及要求(1)分数指数幂与根式根据可以相互转化.(2)分数指数幂中
6、的指数不能随便约分,例如要将 写成 等必须认真考查a的取值才能决定,如 而无意义.,（3）在进行幂的运算时,一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂,再利用幂的运算性质进行运算.,【例1】计算下列各式的值.【解题指南】先将根式化为分数指数幂,底数为小数的化成分数,负分数指数化为正分数指数；然后根据幂的运算性质进行计算.,【规范解答】(1)原式(2)原式,【反思感悟】指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的,无括号先做指数运算,先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数,底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数的,先化成假分数,若是根式,应化为分数指数幂，尽可能
7、用幂的形式表示,运用指数运算性质.,【变式训练】计算下列各式的值：【解析】,指数函数图象的应用【方法点睛】1.应用指数函数图象研究指数型函数的性质对指数型函数的图象与性质（单调性、最值、大小比较、零点等）的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.2.利用图象解指数型方程、不等式一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.,【提醒】在利用指数函数图象解决上述问题时，图象形状、变化趋势及经过的特殊点要准确，否则数形结合时易产生失误.,【例2】已知f(x)=|2x-1|(1)求f(x)的单调区间.(2)比较f(x+1)与f(x
8、)的大小.(3)试确定函数g(x)=f(x)-x2零点的个数.【解题指南】(1)作出f(x)的图象,数形结合求解.(2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x+1)图象，数形结合求解.(3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y=x2的图象,数形结合求解.,【规范解答】(1)由f(x)=|2x-1|=可作出函数的图象如图.因此函数f(x)在(-,0)上递减；函数f(x)在(0,+)上递增.,-1,(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x+1)的图象，如图所示.,1,2,-1,1,x0,由图象知,当时,解得两图象相交,从图象可见,当时,f(x)f(x+1)；当 时,f(x)=f(x+1)
9、;当 时,f(x)f(x+1).,(3)将g(x)=f(x)-x2的零点转化为函数f(x)与y=x2图象的交点问题,在同一坐标系中分别作出函数f(x)=|2x-1|和y=x2的图象如图所示，有四个交点,故g(x)有四个零点.,y=1,y=x2,y=f(x),O,【反思感悟】求解指数型函数的单调性、最值、零点及指数型方程、不等式问题时能用数形结合的尽量用数形结合法求解,但要注意画出的函数图象的基本特征必须要准确,否则很容易失误,如本例（3）.,【变式训练】k为何值时,方程|3x-1|=k无解？有一解？有两解？【解析】函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴
10、下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.,当k0时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象无交点,即方程无解；当k=0或k1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解；当0k1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有两个不同交点,所以方程有两解.,【变式备选】若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a0,a1)的图象有两个公共点，求实数a的取值范围.【解析】分底数0a1两种情况，分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，如图：,从图中可以看出，只有当0a1，且02a1，即 时，两函数才有两个交点.所以,指数函数性质的应用【方法点睛】利用指数函数的性质
11、可求解的问题及方法（1）应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小.（2）与指数函数有关的指数型函数定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函数的求解这些问题的方法一致,只需根据条件灵活选择即可.,【例3】(1)函数的定义域是_.(2)函数 的单调递减区间为_,值域为_.(3)(2012金华模拟)已知函数 (a0且a1)求f(x)的定义域和值域；讨论f(x)的奇偶性；讨论f(x)的单调性.,【解题指南】根据待求的指数型函数的结构特征,选择恰当的求函数定义域、值域(最值)、单调区间、奇偶性的方法求解.【规范解答】(1)由题意知32x-13-3,2x-1-3,x-1,即定义
12、域是-1,+).答案：-1,+),(2)令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-,-2)上单调递增,在(-2,+)上单调递减,而 在R上为单调递减,所以f(x)在(-,-2)上单调递减.又g(x)=-(x+2)2+77,答案：(-,-2)3-7,+),(3)f(x)的定义域是R,令得ax=-,ax0,-0,解得-1y1,f(x)的值域为y|-1y1.f(x)是奇函数.,设x1,x2是R上任意两个实数,且x1x2,则x1x2,当a1时,从而f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的增函数.当0a1时, 从而f(x1)-f(x2)0,即f(x1)
13、f(x2),f(x)为R上的减函数.,【互动探究】若将本例(2)中函数f(x)变为且其最大值为3,求a的值.【解析】令h(x)=ax2-4x+3,由于f(x)有最大值3,为R上的减函数,所以h(x)应有最小值-1,因此必有即当f(x)有最大值3时,解得a=1.,【反思感悟】在求解与指数函数有关的函数的性质问题时,要根据解析式的结构特征,选择适当的方法求解,但对复合函数一定要注意其定义域.,【变式备选】已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求a,b的值;(2)若对任意的tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立,求k的取值范围.【解析】(1)f(x)是奇函数,且定义域为R，f(0)=0,即解得b=1,从而有又由f(1)=-f(-1)知解得a=2.经检验a=2适合题意,所求a,b的值分别为2,1.,(2)由(1)知由上式易知f(x)在R上为减函数,又f(x)是奇函数,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0等价于f(t2-2t)-2t2+k对一切tR恒成立，即3t2-2t-k0,=4+12k0,解得,【易错误区】指数函数图象、性质的应用误区【典例】(2012广州模拟)已知函数 (a,b是常数且a0,a1)在区间 上有ymax=3,ymin= 试求a、b的值.【解题指南】先确定t=x2+2x在 上的值域,再分a1,0a1两种情况讨论,构建a、b的方程组求解.,
