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1、2013 年高考真题理科数学（解析版） 安徽卷- 1 - / 72013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）参考公式：如果事件 与 互斥，那么 ；如果事件 与 相互独ABPABPAB立，那么 。P一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设 是虚数单位， 是复数 的共轭复数，若 ，则 =（ ）iz 2ziz（A） （B） （C） （D）1i1ii（2）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）（A） （B） （C） （D）162543412（3）在下列命题中，不是公理的是（ ）（A）平行于同
2、一个平面的两个平面相互平行（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线（4） “ ”是“函数 在区间 内单调递增”的（ ） 0a|1|fxax0,+（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （ D）既不充分也不必要条件（5）某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为 88,9
3、3,93,88,93。下列说法一定正确的是（ ） （A）这种抽样方法是一种分层抽样（B）这种抽样方法是一种系统抽样 （C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数（6）已知一元二次不等式 的解集为 ，则 的0fx|12x或 10xf解集为（ ） （A） （B）|1lg2或 |lgx（C） （D）|lg2x|x（7）在极坐标系中，圆 的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） cos（A） 和 （B） 和0R22Rcos22013 年高考真题理科数学（解析版） 安徽卷- 2 - / 7（C） 和 （D ） 和2Rcos10Rcos1（8）函数
4、 的图像如图所示，在区间 上可找到yfx,ab个不同的数 ，使得n12,n。则 的取值范围是（ ）12nfxffx（A） （B） （C） （D）3,4,343,452,3（9）在平面直角坐标系中， 是坐标原点，两定点 满足 ，O,AB| 2OAB则点集 所表示的区域的面积是（ ）| ,|1,POAR（A） （B） （C） （D ）2234243（10）若函数 有极值点 , ，且 ，则关于 的方程fxabxc1x1fxx的不同实根个数是( ) 230fxab（A）3 （B）4 （C）5 （D）6二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填在答题卡的相应位置。（11）若 的
5、展开式中 的系数为 7，则实数 _。83ax4xa（12）设 的内角 所对的边分别为 ，若ABC, ,bc，且 ，则角 _。2bcasin5iC（13）已知直线 交抛物线 于 两点。若该抛物ya2yx,AB线上存在点 ，使得 为直角，则 的取值范围为_。a（14）如图，互不相同的点 和12,n 分别在角 的两条边上，所有 相互平行，且所有梯形 的12,nB O1nnAB面积均相等。设 ，若 ， ，则数列 的nAa12ana通项公式是_。（15）如图，正方体 的棱长为 1， 为1BCDP的中点， 为线段 上的动点，过点 的平面截BCQ1,AQ2013 年高考真题理科数学（解析版） 安徽卷- 3
6、- / 7该正方体所得的截面记为 。则下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号） 。S当 时， 为四边形；当 时， 为等腰梯形；当 时， 与102CQ12CQS34CQS的交点 满足 ；当 时， 为六边形；当 时， 的面积1DR1341为 。62三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。（16） （本小题满分 12 分）已知函数 的最小正周4cosin04fxx期为 。求 的值；讨论 在区间 上的单调性。f0,2（17） （本小题满分 12 分）设函数 ，区间210fxaxa。|0Ixf求区间 的长度（注：区间 的长度定
7、义为 ） ；给定常数 ，当,1k时，求区间 长度 的最小值。1kaIl（18） （本小题满分 12 分）设椭圆 的焦点在 轴上，若椭圆 的焦22:1xyEaxE距为 1，求椭圆 的方程；设 分别是椭圆的左、右焦点， 为椭圆 上的第一象限内E12,FP的点，直线 交 轴于点 ，并且 ，证明：当 变化时，点 在某定直线上。2FPyQ1Pa（19） （本小题满分 13 分）如图，圆锥顶点为 ，底面圆心为 ，其母线与底面所成的角为 。 和 是O02.5ABCD底面圆 上的两条平行的弦，轴 与平面 所成的角O为 。证明：平面 与平面 的交线平行于底面；06PAB求 。cosCD（20） （本小题满分 1
8、3 分）设函数 ，2321,nnxxfxRN证明：对每个 ，存在唯一的 ，满足 ；对任意 ，由nN23,n0nfp中 构成的数列 满足 。nxx0px2013 年高考真题理科数学（解析版） 安徽卷- 4 - / 7（21） （本小题满分 13 分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有 位学生，每次活动均需该系 位学生参nk加（ 和 都是固定的正整数） 。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机nk地发给该系 位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 。求该系学生甲收到李老师或张老
9、师所发活动通知信息的概率；求使X取得最大值的整数 。Pmm2013 年普通高校招生全国统考数学试卷安徽卷解答一ADACC DBBDA二11 ；12 ；13 ；14 ；151231,32na16由题可得 2cos(icos)sincos21fxxxx ，故 ； 2sin4x1当 时， 。当 即 时 单调0,25,4x24x08xf递增，当 即 时 单调递减。所以 在 单调递582fyf,增，在 单调递减。82，17 ，所以区间 长度为 ；2 210,1afxaxI21a由知， ，设 ，则 。令2l0gx2gx可得 ，故 在 单调递减，在 单调递增。当 时，0gx1gx0,11,0,1k， ，故
10、在 单调递减，在 单调递增。因为1,k,2ka,k,，所以 在 时取得最大值，3210gga1k从而当 时 取得最小值 。1akl2k18由题知 ，且 ，因此22ab2214158ccaa2013 年高考真题理科数学（解析版） 安徽卷- 5 - / 7所求椭圆的方程为 ；28153xy由题设 ， ， ， ，则 ，1,0Fc2,Pxy0,Qm2,FPxcy。由题易知 ，故 。因 ， ，2,Qm1a111,Qm且 ， ，故 ，消去 得 。因22/P1Q0mcxy22xyc， ，故2ca2xya。而 ，故22 2221111yxxyxyxy,0,1xy，所以动点 在定直线 上。P019设平面 与平面
11、 的交线为 ，因 且 平面 ，故ABCDm/ABCDPC平面 ，从而 / 。因为 平面 ，所以直线 /平面 。得证；/ABCmABD设底面半径为 ，线段 的中点为 ，则 。由题知rF06OP， ，故 。因为0tan2.5PO0tan6P0tan6t2.5cos2FOr，所以 。因此 ，从而020.t41t50t2.5163CD。2coscos16372CD20显然 是单调递增的函数，故 也是单调递20nxy210innixfx增的函数。因为 ，1nf2232113434i inni if ，所以存在唯一的 ，满足 ；201,nx0nfx2013 年高考真题理科数学（解析版） 安徽卷- 6 -
12、/ 7因 ，故 。1120nnnnxfxffx110nnnfxffx由 在 单调递增知 ，故 为单调递减数列，从而对任意 ，1nf0,1nxn ,pN都有 。由 得npx0nnpffx221kknnpnpxx，从而得证。221111knppnkn21因为事件 ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件 ：“学生甲收到张老师所AB发信息”是相互独立的，所以 与 相互独立。由于 ，故B1knPAC，因此学生甲收到活动通知信息的概率 ；1kPABn 22k当 时， 只能取 ，故 ；当 时，整数 满足m1PXmnknm，其中 。由于“李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、kti2,tk随机地发给该系 位学生”所包含的基本事件总数为 ，当 时，同时收到李老师2knCX和张老师转发信息的学生人数恰为 ，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为 ，故事件“ ”所含基本事件数为 ，此时mkXm2kmkmknnnC。当 时，2kknnCCPX t1PX。假如2211mkmknn kkkmn成立，则当 能被 整除时， ，故2t
