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1、 11-1 压杆的稳定概念 11-2 细长压杆临界压力的欧拉公式 11-3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图 11-4 压杆的稳定计算 11-5 提高压杆稳定性的措施第十一章 压杆稳定1(a)(a): 钢杆的横截面为圆形 （ d=1cm),长为 0.02m， 当载荷重量为 18850 N时杆才因达到屈服极限而破坏 。 此时杆横截面的应力(b): 钢 杆的横截面与 (a)相同，长为 2m(细长压杆） ， 当压力为 240 N 时杆突然侧向屈曲被压弯，导致破坏。 此时杆横截面的应力(b)MPas 2 4 0 M P a06.3观察以下试验细长压杆在承受压力时，会出现不同于强度、刚度的屈曲破坏（在远
2、低于材料的屈服极限时）突然产生显著的弯曲变形而使结构丧失工件能力，这种现象称为 失稳 丧失稳定 。这类问题称为 稳定性问题 111 压杆的稳定概念2失 稳不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下的变化或破坏过程。稳定性平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。稳定平衡 随遇平衡 不稳定平衡（ 临界状态 ）小球平衡的三种状态3456稳定平衡 随遇平衡 不稳定平衡（ 临界状态 ）受压直杆平衡的三种形式7891011工程项目的压杆稳定试验12三、其它工程结构的失稳现象1314薄壁圆管、拱（曲梁）失稳内压仅是强度问题外压不仅有强度问题，还有 稳定 问题。压力容器容器在外压力作用下不再保持原平衡状态。16
3、工程中其他失稳形式：1. 板（壳）的压缩或剪切失稳；2.深梁的弯曲失稳；3.薄壁管的压缩局部失稳；4. 圆环的外压失稳等。17 14-2 细长压杆的临界压力一、两端铰支细长压杆的临界载荷当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡FcrFNyyL L18考察微弯状态下局部压杆的平衡 :M (x) = Fcr y (x)M (x) = EI d x2d2y0222 ykdx ydEIFk cr2令二阶常系数线性齐次微分方程FcrFcryy两端铰支细长压杆的临界载荷L19微分方程的解 : y =Asinkx + Bcoskx边界条件 : y ( 0 ) = 0 , y ( l ) = 0（二阶常系数
4、线性齐次微分方程）)( 2 EIFk cr0222 ykdxyd0 A + 1 B = 0sinkl A +coskl B=0B = 0sinkl A =0若 A = 0，则与压杆处于微弯状态的假设不符因此可得：FcrFcryy两端铰支细长压杆的临界载荷L20考察微弯状态下局部压杆的平衡 :M (x) = Fcr y (x)M (x) = EI d x2d2y0222 ykdx ydEIFk cr2令二阶常系数线性齐次微分方程FcrFcryyL21微分方程的解 : y =Asinkx + Bcoskx边界条件 : y ( 0 ) = 0 , y ( l ) = 0（二阶常系数线性齐次微分方程）
5、)( 2 EIFk cr0222 ykdxyd0 A + 1 B = 0sinkl A +coskl B=0B = 0sinkl A =0若 A = 0，则与压杆处于微弯状态的假设不符因此可得：FcrFcryyL22sinkl = 0可得由 EIFk cr2B = 0sinkl A =0y =Asinkx + Bcoskx222lEInF crnkl （ n = 1、 2、 3 ）FcrFNyy23临界载荷 :屈曲位移函数 : 最小临界载荷 : 两端铰支细长压杆的临界载荷的欧拉公式222lEInFcrlxnAxy s i n)( 2m i n2lEIFcr临界力 F c r 是微弯下的最小压力
6、，故取 n = 1。且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。欧拉 临界力公式 中的 Imin 如何确定 ？2m i n2)( lEIFcr 定性 确定 Imin24临界载荷欧拉公式的一般形式 :两端铰支 : 1.0一端 自由，一端固定 : 2.0一端 铰支，一端固定 : 0.7两端固定 : 0.5两端固支但一端可横移 : 1.022)( lEIFcr 二、支承对 压杆临界载荷的影响25当压杆杆端的约束情况在最大和最小抗弯刚度平面内完全相同时，则上式中的 I 应取压杆横截面的最小形心主惯性矩 Imin。如果压杆在最大和最小抗弯刚度平面内的约束情况不相同时，则应分别计算在两个形心主惯性平面内失稳时的临界力，然
7、后再确定该压杆的临界力。临界载荷欧拉公式的一般形式 :一端自由，一端固定 : 2.0一端铰支，一端固定 : 0.7两端固定 : 0.5两端铰支 : 1.022)( lEIFcr 2m i n2)( lEIFcr 注意26如果压杆在最大和最小抗弯刚度平面内的约束情况不相同时，则应分别计算在两个形心主惯性平面内失稳时的临界力，然后再确定该压杆的临界力。临界载荷欧拉公式的一般形式 :22)( lEIFcr 2yyyc r y LEIF)(222)( zzzc r z LEIF)F , m i n ( c r zc r ycr FF 27例：一根 30 5 mm2矩形截面木杆，对其施加轴向压力，若材料
8、的抗压强度 ，当长度分别时，求临界压力 : Pcr . 木材 :解： 1、短杆是强度问题M P ac 402、细长杆是稳定问题cAP 1PP crPcrPmmlmml 1 0 0 0,30 21 40530 kN6).10( G P aE 123m inhbIIy 12530 3 45.3 1 2 mm22m i n2cr1 PP lEI212921105.3121010 )(84.30 N .200/ 21 PPPP1l2lzy木杆两端约束可视为铰支28例： 图示细长圆截面连杆，长度 ，直径 ,材料为 Q235钢， E 200GPa.试计算连杆的临界载荷 Fcr .解： 1、细长压杆的临界载
9、荷M P as 2 3 52、从强度分析scr AF mml 80 0)(8.73 kN64422 dlE 62 102 3 5402.0 22crF lEI648.002.0102 0 02493 )(2.24 kNzymmd 20crFBAl29121050 3m i n I2m in2)( lEIFcr 48m in 1089.3 mII z 2m in2)( lEIFcr 例 ： 求下列细长压杆的临界力。 （ L=0.5m， E=200 GPa）5010图（ a）解 ： 图（ a）一端固定，一端铰支PL图（ b） yz232)5 0 07.0(102 0 04 1 6 7 2682)5
10、.02(1020010389.0 PL44 1 6 7 mm,7.0kNF cr 14.67.89.3,76.14 44 cmIcmI zy ,2kNF cr 8.76查表，图（ b） 一端固定，一端铰支30 、压杆的临界力例 ： 求下列细长压杆的临界力。 (在 xz 平面内失稳，为两端铰支，长L2；在 xy 平面内失稳，为一端固定，一端铰支，长 L1）, 123 hbI y y = 1 ，解： 、 xz平面内 绕 y 轴失稳，两端铰支 ：222LEIF yc r y, 123bhI z z = 0 . 7 ， 、 xy 平面内 绕 z 轴失稳，左端固定，右端铰支 ：212)7.0( LEIF
11、 zc r z)F , m i n ( c r zc r ycr FF 312m in2)( lEIFcr 438.1169.52 cmI zc 例 ： 求下列细长压杆的临界力。（ L = 0.5 m， E = 200 GPa）PL解：一端固定，一端自由查表：2342)5000.2(10200106 .0.3,69.5 44 cmIcmI yz ,2kNF cr 4.1 1 8)42845(2 cyczz)(by)(a)(a40.60.32 cmI yc 4m i n 0.6 cmII yc 图32一、临界应力与柔度AFcrcr 临界应力的欧拉公式il 压杆的柔度（长细比）AIi 惯性半径 c
12、r 压杆容易失稳,2zz iAI .2yy iAI AlEI22)( 222)(ilE22)(ilE22 E 11-3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图柔度是影响压杆承载能力的综合指标。 综合反映杆长、支持方式与截面几何性质对临界应力的影响3334,p pE 2ppE 2 （细长压杆临界柔度）例： Q235钢 ，二、欧拉公式的适用范围pcr .22pcrE .200,200 M P aG P aE p ppE 22 0 0102 0 0 32 10035.99 欧拉公式的适用范围 : ，称大柔度杆（细长压杆 ）p 当 p时，通过不同 试样的试验测得临界压力，再回归处理。351、大柔度杆（细长压
13、杆）采用欧拉公式计算。22)( lEIFcr 22 Ecr )( pp 2：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。 bacr 直线型经验公式 ba ss )( spps 临界压力： 临界压应力：材料 a(MPa) b(MPa)Q235 304 1.12 100 62硅钢 578 3.744 100 60铬钼钢 980 5.296 55 0硬铝 372 2.15 50 0铸铁 331.9 1.454松木 28.7 0.19 59ba, 是与材料性能有关的常数。见 P293表 11-2。p s直线公式适合合金钢、铝合金、铸铁与松木等中柔度压杆。36 bacr 3：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计
14、算。scr AF N )(ss 三、临界应力总图 ： 临界应力与柔度之间的变化关系图。s P S P22 Ecr 细长压杆。ilcro 直线型经验公式中柔度杆粗短杆 大柔度杆37细长杆 发生弹性屈曲 (p)中长杆 发生弹塑性屈曲 (s y（必先绕 z 轴失稳）m ax466121 ,10 10 1108 10zppE max p， 为细长压杆可由欧拉公式计算临界力 47例 截面为 120 200mm的矩形木柱，材料的弹性模量 E=1 104 Mpa,。其支承情况为：在 xoz平面失稳（即绕 y轴失稳）时柱的两端可视为固定端（图 a）；在 xoy平面失稳（即绕 z轴失稳）时，柱的两端可视为铰支端（图 b ）。试求该木柱的临界力。(3) 计算临界力从上面计算可知： zy（必先绕 z 轴失稳）m ax466121 ,10 10 1108 10zppE max p， 为细长
