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1、 2014 年天津市高考数学试卷（理科）菁优网2010-2014 菁优网2014 年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分）1 （5 分） （2014 天津）i 是虚数单位，复数 =（）A 1iB 1+iC+ i D + i2 （5 分） （2014 天津）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最小值为（）A2 B3 C4 D53 （5 分） （2014 天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为（）A15 B105 C245 D9454 （5 分） （2014 天津）函数 f（x）=log （x 24）的单调递增区间为（）A（
2、0，+） B （，0）C（2，+） D （，2）5 （5 分） （2014 天津）已知双曲线 =1（a 0，b0）的一条渐近线平行于直线 l：y=2x+10 ，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为（ ）A =1B =1菁优网2010-2014 菁优网C =1D =16 （5 分） （2014 天津）如图， ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点 D，交 BC 于 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F，在上述条件下，给出下列四个结论：BD 平分 CBF；FB2=FDFA；AECE=BEDE；AFBD=ABBF所有正确结论的序号是（）A B C D7 （5
3、分） （2014 天津）设 a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|” 的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件8 （5 分） （2014 天津）已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD=120 ，点 E、F 分别在边 BC、DC 上，BE=BC，DF= DC，若 =1， = ，则 +=（）ABCD二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9 （5 分） （2014 天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的
4、本科生人数之比为 4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_名学生10 （5 分） （2014 天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m） ，则该几何体的体积为_m 3菁优网2010-2014 菁优网11 （5 分） （2014 天津）设a n是首项为 a1，公差为1 的等差数列， Sn 为其前 n 项和，若 S1，S 2，S 4 成等比数列，则 a1 的值为_12 （5 分） （2014 天津）在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 bc= a，2sinB=3sinC，则cosA 的值为 _13 （5 分） （2014 天津）在以 O 为极点的极坐标系中，圆 =
5、4sin 和直线 sin=a 相交于 A、B 两点，若AOB是等边三角形，则 a 的值为_14 （5 分） （2014 天津）已知函数 f（x）=|x 2+3x|，x R，若方程 f（x）a|x 1|=0 恰有 4 个互异的实数根，则实数a 的取值范围为_三、解答题（共 6 小题，共 80 分）15 （13 分） （2014 天津）已知函数 f（x）=cosxsin（x+ ） cos2x+ ，xR （）求 f（x）的最小正周期；（）求 f（x）在闭区间 ， 上的最大值和最小值16 （13 分） （2014 天津）某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学，在这 10 名同学中，3 名同学来
6、自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同） （）求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；（）设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望17 （13 分） （2014 天津）如图，在四棱锥 PABCD 中， PA底面ABCD，AD AB，ABDC，AD=DC=AP=2 ，AB=1 ，点 E 为棱 PC 的中点（）证明：BEDC；菁优网2010-2014 菁优网（）求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；（）若 F 为棱 PC 上
7、一点，满足 BFAC，求二面角 FABP 的余弦值18 （13 分） （2014 天津）设椭圆 + =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，右顶点为 A，上顶点为 B，已知|AB|= |F1F2|（）求椭圆的离心率；（）设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点 F1，经过原点 O 的直线 l 与该圆相切，求直线 l 的斜率19 （14 分） （2014 天津）已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数，设集合 M=0，1，2，q1，集合A=x|x=x1+x2q+xnqn1，x iM，i=1，2，n（）当 q=2，n=3 时，用列举法表示集合 A；（）设 s，
8、tA，s=a 1+a2q+anqn1，t=b 1+b2q+bnqn1，其中 ai，b iM，i=1 ，2，n证明：若 anb n，则st20 （14 分） （2014 天津）设 f（x）=xae x（a R） ，xR ，已知函数 y=f（x）有两个零点 x1，x 2，且 x1x 2（）求 a 的取值范围；（）证明： 随着 a 的减小而增大；（）证明 x1+x2 随着 a 的减小而增大菁优网2010-2014 菁优网2014 年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分）1 （5 分） （2014 天津）i 是虚数单位，复数 =（）A 1iB 1+iC+
9、 i D + i考点： 复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有分析： 将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数34i，即求出值解答： 解：复数=，故选 A点评： 本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题2 （5 分） （2014 天津）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最小值为（）A2 B3 C4 D5考点： 简单线性规划菁优网版权所有菁优网2010-2014 菁优网专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值解答： 解：作出不等式对应的平面区域，由 z=x+2y，得y= ，平移直线 y=，由图象
10、可知当直线 y=经过点B（1，1）时，直线 y=的截距最小，此时z 最小此时 z 的最小值为z=1+21=3，故选：B点评： 本题主要考查线性规划的应用，利菁优网2010-2014 菁优网用数形结合是解决线性规划题目的常用方法3 （5 分） （2014 天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为（）A15 B105 C245 D945考点： 程序框图菁优网版权所有专题： 计算题；算法和程序框图分析： 算法的功能是求S=135（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的 i 值，计算输出 S的值解答： 解：由程序框图知：算法的功能是求S=135（2i+1）的值，跳出循环的i 值为 4
11、，输出S=1357=105故选：B点评： 本题考查了菁优网2010-2014 菁优网直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键4 （5 分） （2014 天津）函数 f（x）=log （x 24）的单调递增区间为（）A（0，+） B （，0）C（2，+） D （，2）考点： 复合函数的单调性菁优网版权所有专题： 函数的性质及应用分析： 令t=x240，求得函数f（x）的定义域为（，2）（2，+ ） ，且函数f（x）=g（t）=logt根据复合函数的单调性，本题即求函数 t 在（，2）（2，+ ） 上的减区间再利用二次函数的性质可得，函数 t 在（，2）（2，+ ）
12、上的减区菁优网2010-2014 菁优网间解答： 解：令t=x240，可得 x2，或 x2，故函数f（x）的定义域为（，2）（2，+ ） ，且函数f（x）=g（t）=logt根据复合函数的单调性，本题即求函数 t 在（，2）（2，+ ） 上的减区间再利用二次函数的性质可得，函数 t在（，2）（2，+ ） 上的减区间为（，2） ，故选：D点评： 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题菁优网2010-2014 菁优网5 （5 分） （2014 天津）已知双曲线 =1（a 0，b0）的一条渐近线平行于直线 l：y=2x+10 ，双曲线的一个焦点在直线 l 上，
13、则双曲线的方程为（ ）A =1B =1C =1D =1考点： 双曲线的标准方程菁优网版权所有专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 先求出焦点坐标，利用双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得 =2，结合c2=a2+b2，求出 a，b，即可求出双曲线的方程解答： 解：令 y=0，可得 x=5，即焦点坐标为（5， 0） ，c=5，双曲线 菁优网2010-2014 菁优网=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10， =2，c2=a2+b2，a2=5， b2=20，双曲线的方程为 =1故选：A点评： 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算
14、能力，属于中档题6 （5 分） （2014 天津）如图， ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点 D，交 BC 于 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F，在上述条件下，给出下列四个结论：BD 平分 CBF；FB2=FDFA；AECE=BEDE；AFBD=ABBF所有正确结论的序号是（）A B C D考点： 命题的真假判断与应用；菁优网2010-2014 菁优网与圆有关的比例线段菁优网版权所有专题： 证明题；不等式选讲分析： 本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项解答： 解： 圆周角DBC 对应劣弧 CD，圆周角DAC对应劣弧CD，DBC=DAC弦切角FBD 对应劣弧 BD，圆周角BAD对应劣弧BD，FBD=BAF
