数据包络理论案例分析

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1、 数据包络理论案例分析题 目 管理中不确定型决策方法及案例分析学 院 专 业 管理科学与工程 学生姓名 学 号 数据包络理论案例分析摘要：一个线性规划模型，表示为产出对投入的比率。通过对一个特定单位的效率和一组提供相同服务的类似单位的绩效的比较，它试图使服务单位的效率最大化。在这个过程中，获得 100%效率的一些单位被称为相对有效率单位，而另外的效率评分低于100%的单位被称为无效率单位。这样，企业管理者就能运用 比较一组服务单位，识别相对无效率单位，衡量无效率的严重性，并通过对无效率和有效率单位的比较，发现降低无效率的方法。本文旨在介绍 论,并用一个管理学的实际案例来模拟上述理论。关键词：数

2、据包络、 线性规划一引言数据包络分析 (称 法是运用数学工具评价经济系统生产前沿面有效性的非参数方法，它适应用于多投入多产出的多目标决策单元的绩效评价。这种方法以相对效率为基础，根据多指标投入与多指标产出对相同类型的决策单元进行相对有效性评价。数据包络分析是运筹学的一个新的研究领域。它不需要以参数形式规定生产前沿函数，并且允许生产前沿函数可以因为单位的不同而不同，不需要弄清楚各个评价决策单元的输入与输出之间的关联方式，只需要最终用极值的方法，以相对效益这个变量作为总体上的衡量标准。二）决策单元(我们把具有相同类型的部门、企业或者同一企业不同时期的相对效率进行评价，这些部门、企业或时期称为。评价

3、的依据是决策单元的一组投入指标数据和一组产出指标数据。（2）投入指标：指决策单元在经济和管理活动中需要耗费的经济量，例如固定资产原值、流动资金平均余额、自筹技术开发资金、职工人数、占用土地等。（3）产出指标：指决策单元在某种投入要素组合下，表明经济活动产生成效的经济量，例如总产值、销售收入、利税总额、产品数量、劳动生产率、产值利润率等。（4）指标数据：指实际观测结果，根据投入指标数据和产出指标数据评价决策单元的相对效率，即评价部门、企业或时期之间的相对有效性。2. 模型预备知识部门(企业)，称为 个决策单元，每个决策单元都有 种投入和 种产出，样，由 个决策单元构成的多指标投入和多指标产出的评

4、价系统，可以做如下表示：设： 个决策单元 ，每个决策单元有相同的 项投入(输入)(j,(，每个决策单元有相同的 q 项产出(输出) r = 1，2，21) ()第 决策单元的第 项投入第 决策单元的第 项产出)21,111 即：效率指标 等于产出加权之和除以投入加权之和，表示第 个决策单元多指标k 以适当地选择权系数 、 ，使得 ,建立评第 个决策单元相对有效性的 模型。0决策单元的投入向量和产出向量分别为： ,(,),( 0000 21210 效率指标 ,在效率评价指标 (k=1,2,，n)的约束条件下，选择一组h 和 V，使得 达到最大值，构造优化模型(分式规划)0(2)00000 211

5、0 21;,0 ),21(,. 121 上述模型中 , 为已知数(可由历史资料或预测数据得到)， , 为变量。模型 为变量，以 所有决策单元的效率指标为约束，以第 个决策单评价第 个决策单元的生产效率是否有效，是相对于其他所有决)(,),(,),( 2121 有 矩 阵 形 式记 (3)00, ),21(,. 换，转化为一个等价的线性规划模型。 10 )(0Y即1)( 0000 “教师人数”可当作系统输入，若为了评价学校的发展情况，则“教师人数”应作为系统输出。这里所说的“评价”是广义的，它也可能是其他系统分析内容对系统进行的预测、预警以及对系统进行的控制。考集)(1) 用 物理背景来判别。即

6、 有相同的环境、相同的输入和相同的任务(相同的残品和服务内容)等。(2) 用 动的时间间隔来构造。(3) 通常认为参考元素的个数不少于输入、输出指标总数的二倍为好，例如有 6 个输入、7 个输出时，参考集中的 数宜不少于 26。(4) 如果将较多的 在一起组成一个参考集时，“同类型”反映得不够充分。但若将它们按一定特性分成几个子集，则我们可以分别对每个子集进行 析，再将分析结果或者独立地或者综合地进行再分析。) 要考虑到能够实现评价目的，也就是说输入向量与输出向量的选择要服务、服务于我们确定的评价目的。(2) 要能全面反映评价目的。一般来说，一个评价目的需要多个输入和多个输出才能较为全面的描述

7、。缺少某个或某些指标常会使评价目的不能完整地得以实现。(3) 要考虑到输入向量、输出向量之间的联系。(4) 要考虑输入输出指标体系的多样性。一个常用的方法就是我们可以在实现评价目的的大前提下，设计多个输入输出指标体系，在对各体系进行 析后，将分析结果放在一起进行比较分析。4型的选择(1) 是选用基于输入的 型，还是选用基于输出的 型，这主要看对输入(出)指标的可控性和可处理性。(2) 由于具有非阿基米德无穷小的 型在判定 否为(弱)效以及将原来无效的 影”到相对有效面上均有方面之处。(3) 就有效性本身而言, 模型是同时针对规模有效性和技术有效性而言的“总效性，而 模型只能评价技术有效性。此外

8、， 模型的生产可能集为闭凸2且是建立在规模收益不变的假设下，而 模型则反映了规模收益可变的情况下，24) 如果生产可能集为凸锥、输入、输出指标数目较多，特别是由于决策者对输入、输出指标之间的相对重要性有所规定(契约、限制、偏好)，并要在评价中对此规定有所体现，选用具有锥结构的 模型就比较适合了。) 为了得到不同侧面的评价信息，在可能情况下，尽量选用不同类型的 型同时进行分析，再把分析结果相互比较，使结果更全面、更深刻、更准确。5评价工作的设计与表述(1) 确定各 效性；(2) 了解各 相对规模收益情况；(3) 确定相对有效生产前沿面；(4) 确定各 有效生产前沿面上的“投影”;(5) 分析各

9、相对有效性与各输入(输出)指标间的关系；(6) 各 间相对有效性的关系；(7) 不同指标体系对各 对有效性的影响；(8) 其他。四 数据包络模型（又称为 型）描述数据包络分析(美国著名运筹学家 A. 人在 1978 年以相对效率概念为基础发展起来的一种新的绩效评价方法。这种方法是以决策单元(称 投入、产出指标的权重系数为变量，借助于数学规划模型将决策单元投影到 产前沿面上，通过比较决策单元偏离 产前沿面的程度来对被评价决策单元的相对有效性进行综合绩效评价。其基本思路是: 通过对投入产出数据的综合分析，得出每个 合相对效率的数量指标，确定各 否为 效。下面我们先描述 设有 n 个待评价的对象 (

10、又称之为 n 个决策单元 ，每个决策单元都有 m 种类型的投入及 s 种类型的产出，它们所对应的权重向量分别记为: ， 。这 n 个决策单元中第 j 个的投入和产出量用向量分别记作：其中： 为第 j 个决策单元对第 i 种类型输入的投入总量， 为第 j 个决策单元对第 r 种类型输出的产出总量，且 ， ； 为第 i 种输入指标的权重系数，为第 r 种产出指标的权重系数，且 ， 。则每个决策单元 入与产出比的相对效率评价指数如下:通过适当选取权重向量 V 和 U 的值，使对每个 j，均满足 。现对某第 个决策单元进行绩效评价，则以第 个决策单元的效率指数为目标，以所有的待评的决策单元的效率指数为

11、约束，第 个决策单元简记为 ，故可以得到一般的 化模型如下:上面的模型是分式规划规划问题模型，为了方便计算，通过适当的变换，我们可以将其化为一个等价的线性规划数学模型，并且引进阿基米德穷小量 （在实数范围内表示的是大于 0 但小于任意正数的量），构成了具有非阿基米德无穷小量 的的模型。它的对偶线性规划问题模型如下： 其中： ， ，均为对偶变量，m 维单位向量，s 维单位向量 ， 和 均松弛变量， ， 。模型是假定生产技术是固定规模报酬的。后来，对 模型进行推广，他们把固定规模报酬假设改为非递增规模报，则在上述的 。在此假设下非递增规模报酬时的技术效率为 。如果我们把固定规模报酬假设改为可变规模

12、报酬(记 则 型中的上述约束条件应改为： 。从而得到的如下新的 性规划模型在可变规模报酬(条件下求得的相对效率称为纯技术效率设条件下得到的相对效率称为技术效率， 又称为总体效率，它是规模效率与纯技术效率的乘积。因此，可以根据 型（4 型（4确定规模效率。模型（4明，当第 0保持不变的情况下，应尽量保证投入量设上述规划问题模型 （4得最优解为 ，则有，若 ，且 ，则称被评价决策单元相对于其它决策单元而言 效，此时该决策单元既满足技术有效又满足规模有效；若 ，但不同时等于零向量，则称被评价决策单元为弱 效，这时该被评价的决策单元不是同时技术有效和规模有效，此时需要应用 型（4一步进行计算；如果 ，则称此被评价的决策单元为非 效。值得注意的是，型（4在对 型（4算的基础上进行的分析，用以确定是否为纯技术有效。由于总体效率表现为规模效率和纯技术效率之积，根据上述的分析并通过模型（4（4易求得规模效率值。另外，对于非 效的决策单元，需要通过进一步的分析讨论并求出被评价的决策单元 对于有效面上的投影（即新决策单元），则新决策单元相对于原来的决策单元而言是 效的。设