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1、巧用圆锥曲线定义解题圆锥曲线的两种定义，第二定义体现了“形”的统一，第一定义体现了“质”的区别。两种定义不仅在解题中应用广泛，而且具有很大的灵活性。下面谈谈定义在求解圆锥曲线问题中的一些应用。一、利用定义求轨迹例 1. 已知圆 C： 是 C 的动切线，切点为 E。离心率为 的椭圆，以 l 为准线，且过 ，求其相应焦点 P 的轨迹方程。分析：问题的关键在于如何运用定义找出 P 与 的关系。解：如图 1，分别过 作切线 l 的垂线，垂足分别为 M、N、E。图 1由椭圆的定义可得： 。又 ，则点 P 的轨迹为椭圆，其方程为 。二、利用定义求最值例 2. 如图 2， 是双曲线 1 的左、右焦点，M（6
2、，6）为双曲线内部的一点，P 为双曲线右支上的一点，求：图 2（1） 的最小值；（2） 的最小值。分析：（1）和式“ ”与双曲线第一定义有质的区别，是否可设法转化为“差”呢？（2）关键在于处理 的系数，于是联想到 ，可用第二定义转化。略解：（1） 。（2）（其中|PH|为 P 到右准线 l 的距离）。例 3. 如图 3，抛物线 ，椭圆 1（ ）。求两曲线有公共点时 a 的最小值。图 3解：抛物线焦点为 F（4，0），准线为 l： 。椭圆焦点为 F（4，0）、 。设两曲线交于点 A，从 A 作 l 的垂线，垂足为 H。则则当 H、A、F *共线时，2a 有最小值。此时，A 的纵坐标为 4，代入
3、，得 A（1，4）。再将 A 点坐标代入椭圆方程得 ，从而 。文化点精：本题的难点在于如何运用定义作为桥梁，找出 H、A、F *共线时2a 达到最小值这个切入点。三、利用定义判定某些位置关系例 4. 设 l 是经过双曲线 的右焦点 F2的直线，且和双曲线右支交于 A、B 两点，则以 AB 为直径的圆与双曲线的右准线有几个交点？解：如图 4，分别过 A、B 及圆心 M 作双曲线右准线 的垂线图 4垂足分别为则（其中 e 为双曲线的离心率，R 为圆的半径）。故有两个交点。引申与思考：若双曲线改为椭圆、抛物线会出现什么样的结果呢？四、利用定义求解某些几何问题例 5. 已知：半圆的直径 AB 长为 2r，半圆外的直线 与 BA 的延长线垂直，垂足为 T， 。半圆上有相异两点 ，它们与直线 l的距离 满足|MP|：|AM|NQ|：|AN|1。求证：|AM|AN|AB|。解：建立如图 5 所示的直角坐标系，图 5则 M、N 既在抛物线 上，又在圆 上联立得： 。若设 ，则有 ，而 ，则 。综上，运用圆锥曲线的定义解题，通过数形结合，不仅能抓住问题的本质，还能避开复杂的运算，使问题巧妙获解。
