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1、第 3 章 牛顿- 莱布尼茨积分和积分法1063-2 最简原函数表分项积分法为了求积分，根据牛顿-莱布尼茨公式，需要求原函数.求原函数的方法称为积分法.像微分法那样，莱布尼茨为积分法也设计出了一个方案：列出少数几个求原函数的规则和公式.求原函数时，按照规则和公式做就行了.为了求原函数，莱布尼茨当初用记号 作为微分运算符号 的逆运算符号，并用d表示函数 的原函数.因此，()dfx()fx， 与 接连运算相互抵消d()fx例如，因为 (cos)csin)dsixx所以 ind(o)cx而且，牛顿-莱布尼茨公式也可以写成 ()()dbbaaffx例如， 22 2sindsicoscsos02xx 即
2、图 3-6 中那个图形面积的代数和为 . 但是它的0真正面积应当是 22200sindsind(cos)Sxxx（单位平方）co()【注释】在口语中，我们也把 称为函数 的“积分” （它实际上是函数）.为()dfx()fx了把与 ()baf()df在名称上区别开来，近代微积分中称前者为定积分，而称后者为不定积分(在本书中把它看作原函数的同义词 （*） ).读者已经知道，函数 在某区间上的任意两个原函数只能相()fx差一个常数，因此，若 是函数 在某区间上的任意一个原函数，则它在该区间上()Fx()f原函数的一般表示为（*） 俄辛钦在名著数学分析简明教程中就不用“不定积分”这个术语，始终称它为原
3、函数。xyO2图 3-62sinx3-2 最简原函数表分项积分法 107（其中 为待定常数）()d()fxFc但是为了演算简单起见，在积分法中常用 表示某一个原函数（即可以不加那个待dfx定常数）.1.最简原函数表 下面这些求原函数的公式，都是从简单初等函数的微分公式倒推(反演)出来的，要验证它们就将右端再微分(还原). ( 为常数)dkxck 1(1xc特别, , , 2x32dxc1d2xc （见下注 1）dln|c . 特别，lxaedxc sindcos cix 221cscotsinx 22detanco , 一般地，21rcsix 21darcsin(0)xax ， 一般地，2da
4、tn12t()a【注 1】 1(0)dln(l)(l) 1()d()xxxc x【注 2】第一，为简单起见，按照我们的约定，在求原函数过程中可以不加待定常数(需要时，在最后的结果中再另加一个常数 )；第二，因为函数与表示自变量的字母无c c关，所以上述公式中的自变量 可以换成任何一个字母.例如，x第 3 章 牛顿- 莱布尼茨积分和积分法108， ， edtteduedy但是不要写成 .为了避免这种书写错误，近代微积分中有著者用 表示函数tx ()fx的原函数.例如 ， 等等.但是，这种记号失去了莱布尼茨所)(xf xsincostt用记号的巧妙性！【注 3】再次强调指出，求原函数时，求出的原函
5、数有可能不相同.例如或 21darcsinx21darcosxx这两个答案都是对的，因为原函数不是唯一的.要验证你的结果，就对你的结果再求微分.例如2211d(arcos)d(arcos)ddxxxx因此，不能由此得出结论： ！实际上， .inarcsinros(1)因此，在求原函数的运算过程中，其中的等号 是在不计常数被加项意义下的“相等”.这又是变量数学与常量数学的区别！请你将右端求微分或导数，验证下面的结果都是对的：； ； .2sindsix 2sindcosxxcos2indxx2.分项积分法 求原函数时，除了上面那些积分公式外，还有求原函数的几条规则.首先是求原函数的线性运算规则：(
6、) ( 为常数) (齐次性)()dkfxkfxk() (可加性)dggx可把它们一并写成 ()()()d()fxfgx其中 都是常数.要证明它也很容易，只要把右端再求微分就行了，即,d()()d()()fxgfx()dfgx（d 与接连运算相互抵消）先用求原函数的线性运算规则 ()()d()fxgxfxgx最后再套用上述积分公式求原函数的方法，称为分项积分法.例 1 3425e6sin7xxx 3-2 最简原函数表分项积分法 109(可加性和齐次性)1322d4d5e6sind7xxxx(套用积分公式)34ln(co(化简)25e6s7xx x【注意】按照我们的约定，在演算的最后结果中加不加待
7、定常数都可以.至于什么情形下要加待定常数，我们稍后就说明.例 2 设在 平面上，有一条通过点 的曲线 ，其上每一点 处切Oxy)2,1()(xy),(yx线的斜率等于该点横坐标 的二倍.求曲线 .xy解 根据题意和导数的几何解释，则有 . 因此， 2()()dyxxxc其中 为待定常数.因为曲线 通过点 ，c)(y),1(把 代入 得 ，所以要求1,22的曲线为 （图 3-7）.yx【注意】假如是为了利用牛顿-莱布尼茨公式计算积分，求原函数时可以不加那个待定常数.但是，你若是求原函数的一般表示，就必须在求出的一个原函数后面加上一个待定常数 .上面的解法中，先是求原函数的一般表示，所以在一个原函
8、数后面要加上待定常c数.然后，根据题中其它条件确定这个待定常数.例 3 设在区间 上，函数 有原函数 ，函数 有原函数 .证明,ab()fx()Fx()gx()Gx定积分的线性运算规则： ()d()d()dbba aafgf证 因为 d()d()()()()()dFxGFxGfxgxfgx 所以， 是 的原函数.根据牛顿-莱布尼茨公式，则有fg()()()b baafg ()()FGbFaddbaaFbfxgx总结：分项积分法的运算规则是(不定积分)；()()d()fxgxfxg(定积分).ddb bba aax图 3-7xy 212ycO第 3 章 牛顿- 莱布尼茨积分和积分法110根据提示
9、做习题1.用分项积分法，求原函数： 3232223d()3()()dxxxx 211d 151324244xxx 22()dd1 1()()xx 23d469dx 221sincossincox 2iddsx cscininooxx 22tade1d答案： ； ；35797xx2lnx；1245345x ； ； ； ；arctnarctnx4692llnl3xxtancotx ； ； .oxsiota2.根据牛顿莱布尼茨公式，计算出积分值：223311dx 004411dx3-2 最简原函数表分项积分法 11188223300dxx 00sinsid 00cocxx 33221 1d221 1dxx 答案： ； ； ； ； ； ； ； .4535960633.求下列图形的面积(先画出草图): 由直线 和抛物线 围成的图形；xy2xy 由抛物线 和 围成的图形；2 由直线 和三次抛物线 围成的图形(注意对称性).3答案： ； ； .6131
