数字信号处理讲义--滤波器的设计方法

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1、第章 滤波器的设计方法教学目的1掌握由连续时间滤波器设计离散时间 IIR 滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2了解常用的窗函数，掌握低通 IIR 滤波器的频率变换法、用窗函数法设计 FIR 滤波器的方法；3掌握 FIR 滤波器的逼近原理与设计方法。教学重点与难点重点：本章是本课程的重中之重，滤波器的设计是核心内容之一。1连续时间滤波器设计离散时间 IIR 滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2常用的窗函数，掌握低通 IIR 滤波器的频率变换法、用窗函数法设计 FIR 滤波器的方法；3掌握 FIR 滤波器的逼近原理与设计方法。难点：1. 冲激响应不变法，双线性变换法

2、2. 用窗函数法设计 FIR 滤波器FIR 滤波器的逼近原理与设计方法7.0 基本概念 7.0.1 选频滤波器的分类数字滤波器是数字信号处理的重要基础。在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中, 数字滤波器是使用最广泛的线性系统。数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。因此， 数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。 我们已经知道，一个输入序列 x(n)，通过一个单位脉冲响应为 h(n)的线性时不变系统后，其输出响应 y(n)为 将上式两边经过傅里叶变换，可得 式中，Y(e j )、X(e j )分别为输出序列和输入序列的频谱

3、函数， H(ej )是系统的频率响应函数。 可以看出，输入序列的频谱 X(ej )经过滤波后，变为 X(ej )H(ej )。如果|H(e j )|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频nmhxny)()()()(jjj eHeY率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择 H(ej )，使得滤波后的 X(ej )H(ej )符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。它们的理想模式如图 7-1 所示。 （系统的频率响应 H(ej )是以 2 为周

4、期的。) 可以看出，输入序列的频谱 X(ej )经过滤波后，变为 X(ej )H(ej )。如果|H(e j )|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择 H(ej )，使得滤波后的 X(ej )H(ej )符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。它们的理想模式如图 7-1 所示。 （系统的频率响应 H(ej )是以 2 为周期的。) 图 7-1 数字滤波器的理想幅频特性 满足奈奎斯特采样定理时，信号的

5、频率特性只能限带于| |0 时，| z|1。也就是说， S 平面的左半平面映射到 Z 平面的单位圆内，S 平面的右半平面映射到Z 平面的单位圆外，S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆上。 因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。 （3） 优缺点双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为 S 平面与 Z 平面是单值的一一对应关系。S 平面整个 j 轴单值地对应于 Z 平面单位圆一周， 即频率轴是单值变换关系。这个关系如式（7-18）所示，重写如下： 上式表明，S 平面上 与 Z 平面的 成非线性的正切关系，如图7-7 所示。

6、由图 7-7 看出，在零频率附近，模拟角频率 与数字频率 之间的变换关系接近于线性关系；但当 进一步增加时， 增长得越来越慢，最后当 时， 终止在折叠频率 = 处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象， 从而消除了频率混叠现象。 图 7-7 双线性变换法的频率变换关系 但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如式（7-18）及图 7-7 所示。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；2tanT- o2tanT其次，这种非线性关系要求

7、模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性） ，不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图 7-8 所示。 图 7-8 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变， 这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变， 然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。 （4）模拟滤波器的数字化方法双线性变换法比起脉冲响应不变法来，在设计和运算上

8、也比较直接和简单。由于双线性变换法中，s 到 z 之间的变换是简单的代数关系，所以可以直接将式（7-15）代入到模拟系统传递函数， 得到数字滤波器的系统函数， 即 （7-19） 频率响应也可用直接代换的方法得到 （7-20 ）应用式（7-19）求 H(z)时， 若阶数较高，这时将 H(z)整理成需要的形式，就不是一件简单的工作。为简化设计，一方面， 可以先将模拟系统函数分解成并联的子系统函数（子系统函数相加）或级联的子系统函数（子系统函数相乘） ，使每个子系统函数都变成低阶的（例如一、 二阶的） ，然后再对每个子系统函数分别采用双线性变换。也就是说，分解为低阶的方法是在模拟系统函数上进行的，而

9、模拟系统函数的分解已有大量的图表可以利用，分解起来比较方o oo)j(aH)(ej ooo )(eargjH)j(arg112)(zTHszHazTa 2tan)()(2tanTjjeHTaj便。另一方面，可用表格的方法来完成双线性变换设计，即预先求出双线性变换法中离散系统函数的系数与模拟系统函数的系数之间的关系式，并列成表格，便可利用表格进行设计了。 设模拟系统函数的表达式为 （7-21） 应用式（7-20）式 得（7-22 ） 表 7-1 双线性变换法中 a(s)的系数与 H(z)的系数之间的关系 NNkka sBsBAAsH2100)(1|)(zcsaz NNkk zbzbazH 210

10、0)( TC图 7-9 双线性变换时频率的预畸变 （1） 如果给出的是待设计的带通滤波器的数字域转折频率（通、 )j(aH)(ejo oo 432112 34阻带截止频率） 1、 2、 3、 4 及采样频率(1/T)，则直接利用式（7-19 ） 计算出相应的模拟滤波器的转折频率 1、 2、 3 和 4。这样得到的模拟滤波器 Ha(s)的转折频率 1、 2、 3 和 4，经双线性变换后就映射到数字滤波器 H(z)的原转折频率 1、 2、 3 和 4。 =2fT （ 7-23） 再利用式（7-19） 对频率预畸变，得到预畸变后的模拟滤波器的转折频率 1、 、 3 和 4。这样得到的模拟滤波器 Ha

11、(s)的转折频率 、 2、 3和 4, 经双线性变换后映射到数字滤波器 H(z)的转折频率 1、 2、 3、 4，并且能保证数字域频率 1、 2、 3、 4 与给定的模拟域转折频率 f1、f 、f 、f 4 成线性关系。（2） 按 1、 2、 3 和 4 等指标设计模拟滤波器的系统函数 Ha(s)。 （3）将 代入 Ha(s)，得 H(z)为 其频率响应为 上述这些步骤比用脉冲响应不变法设计滤波器要简便得多需要特别强调的是，若模拟滤波器 Ha(s)为低通滤波器，应用变换得到的数字滤波器 H(z)也是低通滤波器；若 Ha(s)为高通滤波器，应用 变换得到的数字tanT2tanT1zT112|)(

12、zTsHazTa2|)()(2tanjjeaTaj12zTs 12zT滤波器 H(z)也是高通滤波器; 若为带通、带阻滤波器也是如此。 在 IIR 数字滤波器的设计中，当强调模仿滤波器的瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好; 而在其余情况下，大多采用双线性变换法。 7.1.3 双线性变换法设计举例例 7-2 设计一个一阶数字低通滤波器，3 dB 截止频率为 c=0.25，将双线性变换应用于模拟巴特沃思滤波器。 解 数字低通滤波器的截止频率为 c=0.25，相应的巴特沃思模拟滤波器的 3 dB 截止频率是 c，就有 模拟滤波器的系统函数为 将双线性变换应用于模拟滤波器，有 由上题可知，T 不参与设

13、计，即双线性变换法中用 设计与用 设计得到的结果一致。 例 7-3 用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为 fs=4 kHz（即采样周期为 T=250s） ，其 3dB 截止频率为fc=1 kHz。三阶模拟巴特沃思滤波器为 )/(1)asHTTcc 82.05.tn2tn2)82.0/(1)/()sTsHca1 1112459.0. )/()./()( zzzzTsa ,1zs2tan2tan,12Tzs 32)/()/()/(211)(ccca sssH解 首先，确定数字域截止频率 c=2f cT=0.5。第二步，根据频率的非线性关系式（7-17） ，确定预畸变的模拟滤

14、波器的截止频率 第三步，将 c 代入三阶模拟巴特沃思滤波器 Ha(s)，得 最后，将双线性变换关系代入就得到数字滤波器的系统函数 应该注意，这里所采用的模拟滤波器 Ha(s)并不是数字滤波器所要模仿的截止频率 fc=1 kHz 的实际滤波器，它只是一个“样本”函数，是由低通模拟滤波器到数字滤波器的变换中的一个中间变换阶段。 图 7-10 给出了采用双线性变换法得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的幅频特性。由图可看出，由于频率的非线性变换， 使截止区的衰减越来越快。最后在折叠频率处形成一个三阶传输零点。这个三阶零点正是模拟滤波器在 c=处的三阶传输零点通过映射形成的。图 7-10 用双线性变换法设计得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的频响 7.2 IIR 滤波器的频率变换法TTcc 25.0tan2tan232)/()/()/(211)( sssHa 231 31211123)( z zzzszzTa1.00.50 0.5)(ejH 0 1.0 2.0 f / kHz- (a)-