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1、等差数列前 n 项和教案模板教 学 设 计 表学科数学 授课年级 中职一年级 学校 高台县职业中专 教师姓名 张秀娟 章节名称 等差数列前 n 项和教案 计划学 时 1 课时学习内容分析等差数列前 n 项和现行高中教材第三章第三节“等差数列前 n 项和”的第一课时，主要内容是等差数列前 n 项和的推导过程和简单应用。 知识技能：(1)掌握等差数列前 n 项和公式;(2)掌握等差数列前 n 项和公式的推导过程;(3)会简单运用等差数列的前 n 项和公式。数学思考：（1）通过对等差数列前 n 项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方法；（2）通过公式的运用体会方程的思想；（3）通过运用公式的过
2、程，提高学生类比化归、数形结合的能力。教学目标情感态度：结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。教学重点及解决措施 等差数列前 n 项和公式的推导和应用。教学难点及解决措施等差数列前 n 项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学
3、难点。教学设计思路结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下： 图片欣赏 数形结合新课引入 类比化归前后呼应 公式应用前后呼应 知识回顾创设情景提出问题（2 分钟）探究等差数列前 n 项和公式（18 分钟）公式应用与议练活动（1）（5 分钟）公式的认识与理解（4 分钟）公式应用与议练活动（2）（9 分钟）归纳总结（2 分钟）教学环节活 动说 明创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有 100 层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+.+100=？问题
4、 2：何老师按揭买房,向银行贷款 25 万元，采取等额本金的还款方式，即每月还款额比上月减少一定的数额。2007 年 1 月，我第一次向银行还款 2348 元，以后每月比上月的还款额减少 5 元，若以 2007 年 1 月银行贷款利率为基准利率,那么到 2026 年 12月最后一次还款为止，何老师连本带利一共还款多少万元？现实模型： 图片欣赏 生活实例模 型直 观用实际生活引入新课。新课引入教 师 活 动 学 生 活 动首先认识一位伟大的数学家高斯，然后提出问题：高斯是如何快速计算 1+2+3+4+.+100？设等差数列 前 n 项和为 ,则 anS问题 1老师：利用高斯算法如何求等差数列的前
5、n 项和公式？老师：但是否刚好配对成功呢？（1） n 为偶数时：（2） n 为奇数时：老师：那么该如何解决落单的 呢？21na同过对 n 取值的讨论，得到了前 n项和求和公式：但是对 n 讨论麻烦了，能否有更好的方法求前 n 项和公式呢？接下来给出实际问题：伐木工人是如何快速计算堆放在木场的木头根数呢？ 问题 2：如何用倒置的思想求等差数列前n 项和呢？方法一：学生：1+100=101， 2+99=101， .50+51=101，所以原式=50 （ 1+101）=5050学生：将首末两项配对，第二项与倒数第二项配对，以此类推，每一对的和都相等，并且都等于。学生：不一定，需要对 n 取值的奇偶进
6、行讨论。当 n 为偶数时刚好配对成功。当 n 为奇数时，中间的一项落单了。21a（可能部分学生在此会遇到困难，老师做适当的引导。 ）学生：观察 的脚标与 21na脚标的关系，即：学生观察动画演示，不难发现用倒置的思想来解决此问题。（由上一问题的解决，学生容易想到倒序相加求和法。 ）高斯求和众所周知，学生能快速解答。这里用到了等差数列脚标和性质从高斯算法出发，对n 进行讨论寻找求和公式思路自然，学生容易想到。对中间项的21na解决办法的过程中，进一步让学生体会研究数列就是对脚标数学的研究。探 索 公 式nS12 a1nnaaaS 12)(21naSnnnaS 1212111)(2nnaS211n
7、n)(2a)(1nS11212 nnannn aaS121议练活动两式相加得：方法二同样利用倒序相加求和法，教材做了如下处理：两式相加得：引导学生带入等差数列的通项公式，换掉 整理得到公式 2。例 1：计算（1）1+2+3+n（2）1+3+5+(2n-1)（3）2+4+6+2n（4）1-2+3-4+5-6+(2n-1)-2n教师通过动画演示给(1),(2)问一个直观的解释。变式练习：课前提出的房贷问题。解:由已知每月还款数成等差数列,设为：na学生：利用倒序相加求和法。将 中的每一项用等差数nS列的通项公式进行巧妙的改写，在倒序相加求和时，每一组中的 d 都被正负抵消了。学生类比方法一与方法二
8、的联系与区别。学生自己阅读教材，体会教材的解法是如何运用求和公式。观察多媒体课件演示。学生：要求总还款额实际就是对一个等差数列求和。倒序相加求和法是重要的数学思想，为以后数列求和的学习做好了铺垫。在等差数列前n 项和公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题提出问题解决问题”的过程通过对实际问题的解决让学生认识到数学来源于生活，同时又服务于生活探 索 公 式121aaSnn )(2n1n)(.)(11adaSn )( . )(nnn21naS)(1n：公 式nadnaS)1(1：公 式 240,5,23481 nd)(4201)5(239038)1(元aS认识公式认识公式问题 3
9、：能否给求和公式一个几何解释呢？教师提示将求和公式与梯形建立联系。1anana1a1an剖析公式：教师提示，从方程中量的关系入手。学生：将求和公式与梯形面积公式建立联系，而梯形面积公式的推导也正是利用了倒置的思想。学生：同样将公式 2 与梯形面积公式建立联系。用“割”的思想将梯形分做一个平行四边形和一个三角形，而梯形面积就是这两部分面积之和。学生讨论：公式中一共含有五个量，根据三个公式之间的联系，由方程的思想，知三可求二。利用数形结合的思想，使学生对两个公式有直观的认识，体会数学的图形语言。dnS2)(2：公 式 2)(:1nS公 式 dnan)1(11()2nnaS公1()nd公 nan)1
10、(1通 项 公 式 ：议练活动课堂总结例 2 等差数列 -10，-6，-2，2， 前多少项的和为 54？解：设题中的等差数列是 ，前 n 项和na为 ：nS则 10，d6（10）4 1a令 54，由等差数列前 n 项和公式，n得：解得 9， 3（舍去）12因此,等差数列的前 9 项和是 54 例 3： 解：（1） 1612512 aa861a142)(16S（2）本小题主要考察了对公式一的整体应用。根据课堂剩余时间，本题作为机动练习，（2）小问留给学生课后完成。1、教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容2、课后作业：教材 118 页：1、2、3、5、6、7课后思考：等差数列的前 n 项和的
11、求和方法除了倒序相加法还有没有其它方法呢?3、对求和史的了解 我国数列求和的概念起源很早，在北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他学生讨论分析题目所含的已知量，选取了公式 2 进行运算，利用了方程的思想。需要注意的是学生可能会把公差认为是-4，以及解得 n 的值后未把 n=-3舍去。学生进行了分组讨论，然后每组派学生代表进行分析。不少小组首先对已知条件作转化，希望能通过解方程求出首项和公差，但发现条件不够，不能解出这些基本量，教师做适当的引导。 本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明（1）回顾从特殊到一般，一般到特殊的研究方法.（2）体会等差数列的基本元表示方法，倒
12、序相加的算法，及数形结合的数学思想.（3）掌握等差数列的两个例 2 在解决了例 1 的基础上，由浅入深，深化了对公式的理解，体现了方程的思想。紧扣教材，让学生体会整体应用公式，类比化归的思想方法，同时，为以后综合问题的解答设下伏笔。通过对等差数()054.6 1615252,0)( ,3:SSan求已 知 ： 求已 知 中在 等 差 数 列 061a在张丘建算经中给出等差数列求和问题：例如：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？原书的解法是：“并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得。 ”求和公式及简单应用。了解我国古代研究等差数列求和的情况。列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。
