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1、第一章 绪论1设 , 的相对误差为 ，求 的误差。0xlnx解：近似值 的相对误差为*re=而 的误差为ln1lnlexx进而有 (*)2设 的相对误差为 2%，求 的相对误差。xn解：设 ，则函数的条件数为()nf()|pxfC又 , 1()nfx1|npx又 *(*)rprC且 为 2()rex0.nr3下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： , , , ,*1.02x*.31x*85.6x*4.30x*571.x解： 是五位有效数字；*1.02x是二位有效数字；23是四位有效数字；*85.6x是五位有效数字；40是二位有效数字。
2、*571.x4利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ,(2) ,(3) .*124x*123x*24/x其中 均为第 3 题所给的数。*1234,x解：*4132*1334*15()0()02()0xxx*124*433)()(1001.5x*23*1231324 3()()()11.0.0.85.60.2385.605xxx *24*24335(3)/()110.56.0.xx5 计算球体积要使相对误差限为 1，问度量半径 R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为 34VR则何种函数的条件数为 234pRCA(*)()(*)rprrVR又 1r故度量半径 R 时允许的相对误差
3、限为 1(*)0.3rR6设 ，按递推公式 （n=1,2,）028Y1780nY计算到 。若取 （5 位有效数字） ，试问计算 将有多大误差？1732.9810Y解： 0n109Y98737101083Y依次代入后，有 1017830Y即 ，107若取 , 832.9102.9* 3100()(.8)Y的误差限为 。327求方程 的两个根，使它至少具有 4 位有效数字（ ） 。561x 7832.9解： ，20故方程的根应为 1,2873x故 1.95.82x具有 5 位有效数字211873 0.17863287.95.2x 具有 5 位有效数字28当 N 充分大时，怎样求 ？12Ndx解 1
4、2arctn(1)arctnNdxN设 。arct(),则 n1.122arctn()ta1arct()n1NdxNA9正方形的边长大约为了 100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过 ？21cm解：正方形的面积函数为 2()Ax.(*)2(A当 时，若 ,10x*)1则 2()故测量中边长误差限不超过 0.005cm 时，才能使其面积误差不超过 21cm10设 ，假定 g 是准确的，而对 t 的测量有 秒的误差，证明当 t 增加时 S 的21St0.绝对误差增加，而相对误差却减少。解： 2,0t(*)()SgA当 增加时， 的绝对误差增加t2*()1()rgttA当 增加时， 保持不变，则
5、 的相对误差减少。*t(*)t*S11序列 满足递推关系 (n=1,2,),ny10ny若 （三位有效数字） ，计算到 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？021.40y解： y20(*)又 1ny10(*)()y又 21()0()y2*.y101028()(*)y计算到 时误差为 ，这个计算过程不稳定。10y810212计算 ，取 ，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？6()f, , ， 。6(21)33(2)9702解：设 ，6(yx若 ， ，则 。*.4*102x若通过 计算 y 值，则61(2)* *7*1()6yxyxA若通过 计算 y 值，则3(2)*2*(63yxA若通过 计算
6、 y 值，则31(2)* *4*7()132yxyxA通过 计算后得到的结果最好。3()13 ,求 的值。若开平方用 6 位函数表，问求对数时误差有多2ln(1)fxx(30)f大？若改用另一等价公式。 22ln1ln(1)xx计算，求对数时误差有多大？解, 2()ln1)fxx(30)l89)f设 89,(uyf则 *412故*310.67yuA若改用等价公式 22ln(1)ln(1)xx则 3089f此时， *7159.83yu第二章 插值法1当 时， ,求 的二次插值多项式。,2x()034fx()fx解： 012200102101222,()()3()4;1(2)()6()1)(3fx
7、ffxl xxxl x则二次拉格朗日插值多项式为 20()()kLxylx22341()(1)3576llxx2给出 的数值表()lnfxX 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144用线性插值及二次插值计算 的近似值。ln0.54解：由表格知， 0123124.,.5,.6,.7,.8;()9()9.8,0.54xxxfff若采用线性插值法计算 即 ，ln.(.4)f则 0.5.62112212()0(.).5()()()xlxLxflxflx6.93470.6180.5)1(05).9若采
8、用二次插值法计算 时，ln5412000111202212()()(0.).6.(.)()5(0.4).5()()(xl xxl xLflflfl50.960.5(.6)9.3147(0.).605182(0.4).5xxx2(.4).1384.2L3给全 的函数表，步长 若函数表具有 5 位有效数字，cos,09x 1(/60),h研究用线性插值求 近似值时的总误差界。解：求解 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有 5 位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数 的近cosx似值时，采用的线性插值法插值余项不为 0，也会有一定的误差。因
9、此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。当 时，09x令 ()cosf取 01,)60810xh令 ,.54ii则 54092x当 时，线性插值多项式为1,k11 1()()kkkkxxLff插值余项为 1 1()cos()()()2kkRxxfx又 在建立函数表时，表中数据具有 5 位有效数字，且 ，故计算中有误差传cos0,1x播过程。 *5*112 1*11*()0()()()()kk kk kkkkkkfxxxRffxfxhx总误差界为12*112*85()cos)()(1)().06051kkkkkkRxxfxxfhfx4设为互异节点，求证：（1） 0()nkkjxl(0,1);n
10、（2） 0()(nkjjjl(,);k证明（1） 令 ()kfx若插值节点为 ，则函数 的 次插值多项式为 。,01,jn ()fxn0()()nkjLxlx插值余项为(1)1() ()!nnnnfRxfL又 ,k(1)0nfRx0()nkkjl(,1);n0002()(nkjjjjikikjjinniikjixlClxxl由上题结论可知又0()nkijxl0()()nikiikCxx原 式得证。5 设 且 求证：2(),fxCab()0,fb21mamx.8xbab解：令 ，以此为插值节点，则线性插值多项式为01,0101()()xxLff= bafafx1()0Lx又插值余项为 101()
11、()()()2RfxLfxx02fx012210()()()4xxba又2mx()max().8abbff6在 上给出 的等距节点函数表，若用二次插值求 的近似值，要使4exe截断误差不超过 ，问使用函数表的步长 h 应取多少？610解：若插值节点为 和 ，则分段二次插值多项式的插值余项为,ix1i2111()()()3!iiiRxfxx4ma()6iiixf设步长为 h，即 11,iiiixhx434322().67Ree若截断误差不超过 ，则6106243()70.5xeh7若 ，42,.nnyy求 及解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。 n44(1)nnyEy4044040
12、(1)2(1)2jjnjjnjjjjnjnyy1442()nnyEy242ny8如果 是 m 次多项式，记 ，证明 的 k 阶差分()fx()(fxhfx()fx是 次多项式，并且 （ 为正整数） 。()0)kfxmk1()0mfxl解：函数 的 展式为Taylor2() (1)111()()()!(!mmfxhfxhffxhfh其中 ,又 是次数为 的多项式()fxm(1)0)(mfhfx2()11(!mf fxh为 阶多项式)fx2()f为 阶多项式fx2m依此过程递推，得 是 次多项式()kfxk是常数()mfx当 为正整数时，l1()0f9证明 1kkkgfgf证明 1()kkkfff
13、1111()()kkkkkkgfgffff得证10证明1 100n nknkfgfgf证明：由上题结论可知1()kkkfgfgf101100()nkkkknnkkkfgf11010211()()()()nk nnnfgffgfffgg 1 100 nknkffgf 得证。11证明1200njnjyy证明11200()njjjj12110()nnyyy得证。12若 有 个不同实根 ，101()nnfxaax 12,nx证明： 110,2;()knjj kf证明： 有个不同实根x12,nx且 01()nfaa 2)()n nxxx令 1()则 11()()kknnj jjjxxfa而 2313()()()()n n nxxxxx 12 11()()()()njjjjjjjjnxxxx 令 ,kg121,()knjjxx则 121,()knjjgx又 121,()knj njnxgfa110,;()knjjfx得证。13证明 阶均差有下列性质：（1）若 ，则()Fxcf0101,;nnFxcfx （2）若 ，则()g 01,.nxgx 证明：（1） 120011(),(
