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1、- 1 -第五章 数 列单元总结与测试【章节知识网络】【章节巩固与提高】一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.（2012 南平模拟）数列 1，-3 ，5 ，-7 ，9 ，的一个通项公式为( )( )an=2n-1 (B)an=(-1)n(1-2n)(C)an=(-1)n(2n-1) (D)an=(-1)n(2n+1)2.已知各项均为正数的等比数列an中，lg(a3a8a13)=6，则 a1a15 的值为( )( )100 (B)1 000(C)10 000 (D)103.（2012 株洲模拟）已知数列an,an=
2、2n+1，则 2132aa+ n1a =( )( ) n12(B)1-2n(C)1- n(D)1+2n4已知数列-1,a1,a2, -4 成等差数列，-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列，则21ab的值为( )- 2 -111ABCD2224或5已知 Sn 为等比数列 an的前 n 项和，a1=2，若数列1+an也是等比数列，则 Sn 等于( )（ ）2n （B）3n （C）2n+1-2 （D）3n-16.由n1n1aa,3得出的数列an的第 34 项为( )（ ）40（B）100 （C）10（D）1047 （ 2012大庆模拟）若 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，S9=-36,S1
3、3=-104, 则 a5 与 a7 的等比中项为( )（ ） 42（B） 2（C） 42（D）328已知数列an的前 n 项和 Sn 和通项 an 满足nn1Sa，则数列an的通项公式为( )（ ）1na()3（B）na()3（C ）n1()（D）n1n()g9.（2012 福州模拟）已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得mn1a4,则 n的最小值为( )352ABC26不 存 在10.(易错题) 某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产 n 年的产量为 f(n)=12n(n+1)(2n+1)吨，但如果年产量
4、超过 150 吨，将会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线的生产期限是( )（ ）5 年 （B）6 年 （C）7 年 （D）8 年二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)11已知an为等差数列，且 a3=-6,a6=0.等比数列bn满足 b1=-8,b2=a1+a2+a3,则bn的前 n项和 Sn=_.12.（ 2012漳州模拟）在等比数列an 中，若 39a,S,q_.2则 公 比13.已知数列an的前 n 项和为 Sn，a1=1,若 n2 时，an 是 Sn 与 Sn-1 的等差中项，则S5=_.14 （ 2012唐山模拟
5、）已知数列an的前 n 项和为 Sn,Sn=2an-1,nN*, 数列(n+1)an的前 n 项- 3 -和 Tn=_.15已知函数 f(x)对应关系如表所示，数列an满足 a1=3,an+1=f(an),则a2 013=_.x 1 2 3f(x) 3 2 1三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16 （ 13 分） （ 2012蚌埠模拟）已知an 是公比大于 1 的等比数列，a1,a3 是函数 f(x)=x+9x-10 的两个零点.(1)求数列an 的通项公式 ;(2)若数列bn 满足 bn=log3an+n+2,且 b1+b2+b3+
6、bn80，求 n 的最小值.17 （ 13 分） （预测题）在等比数列an 中，an 0（nN*） ，且 a1a3=4,a3+1 是 a2 和 a4 的等差中项.（1 ）求数列an的通项公式；（2 ）若数列bn满足 bn=an+1+log2an（n=1,2,3,） ，求数列bn的前 n 项和 Sn.18.（ 13 分） （2012厦门模拟）已知等差数列an是递增数列，且满足 a4a7=15,a3+a8=8.（1 ）求数列an的通项公式；（2 ）令n11nb2,b,9a3（ ）求数列bn的前 n 项和 Sn.19 （ 13 分） （探究题）已知数列an 的前 n 项和为 Sn，对任意的 nN*,
7、点(an,Sn)都在直线2x-y-2=0 上.(1)求an 的通项公式 ;(2)是否存在等差数列bn ，使得 a1b1+a2b2+anbn=(n-1)2n+1+2 对一切 nN* 都成立？若存在，求出bn的通项公式；若不存在，说明理由.20 （ 14 分） （ 2012佛山模拟）已知等差数列an 中，前 n 项和 Sn 满足:S10+S20=1 590,S10-S20=-930.（1 ）求数列an的通项公式以及前 n 项和公式.（2 ）是否存在三角形同时具有以下两个性质，如果存在，请求出三角形的三边长和 b 值;如果不存在，请说明理由.三边是数列an+b 中的连续三项，其中 bN*;最小角是最
8、大角的一半.21.（ 14 分） （2011山东高考）等比数列an中，a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1,a2,a3 中的任何两个数不在下表的同一列.第一列 第二列 第三列第一行 3 2 10第二行 6 4 14第三行 9 8 18（1 ）求数列an的通项公式；（2 ）若数列bn满足：bn=an+(-1)nlnan，求数列bn的前 n 项和 Sn.- 4 -答案解析1.【解析】选 B.观察各项的符号及大小知 an=(-1)n+1(2n-1)=(-1)n(1-2n).2.【解析】选 C.lg(a3a8a13)=6,a3a8a13=38a=106,a8=100,a1a
9、15=2=10 000.3.【解析】选 C.an+1-an=2n+1+1-(2n+1)=2n+1-2n=2n, 2132n1aaa= 23n=nnn1()1().2 4 【 解析】选 .由题意知 3(a2-a1)=-4-(-1)=-3,a2-a1=-1,又2b=(-1)(-4)=4,且 b20,b2=-2,21a.5 【 解析】选 .设数列an 的公比为 q,数列1+an是等比数列，(1+2q)2=3(1+2q2)q=1,Sn=2n.6.【解析】选 C.由nn1n1a3,3a得数列 na是以 1 为首项，公差为 3 的等差数列，434 10,a.7 【 解析】选 C.1995S36,2- 5
10、-a5=-4,13137aSa104,2a7=-8,a5 a7=32,故 a5 与 a7 的等比中项为 2.【变式备选】在 3 和 9 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是( )（ ）45（B）74（C）92（D） 9【解析】选 .设中间两数为 x,y，则 x2=3y,2y=x+9,解得x327y4或（舍去） ，所以x+y=45.8 【 解析】选 B.当 n2 时， an=Sn-Sn-1=nn1n11aa,22化简得2an=-an+an-1,即 n1a.3又由 11S，得 a1= 3，所以数列an是首项为 3，公比为13的等比数列.所以n1nna().3
11、9.【解析】选 .设等比数列an 的公比为 q,则 q0,且2255aqa,q0即 ，得 q=2,mn13a4a,n6,14m13()()5.6n62当且仅当 n2=4m2,即 m=2，n=4 时等号成立.10.【 解题指南】令第 n 年的年产量为 an,根据题意先求 an,再解不等式 an150，从而得出答案.【解析】选 C.令第 n 年的年产量为 an,则由题意可知第一年的产量 a1=f(1)- 6 -=12123=3（吨） ；第 n(n=2,3,)年的产量 an=f(n)-f(n-1)=12n(n+1)(2n+1)- 12(n-1)n(2n-1)=3n2(吨）.令 3n2150，则结合题
12、意可得 1n 52.又 nN*,所以 1n7,即生产期限最长为 7 年.【变式备选】甲型 H1N1 流感病毒是寄生在宿主的细胞内的，若该细胞开始时是 2 个，记为a0=2，它们按以下规律进行分裂，1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个，2 小时后分裂成 6 个并死去 1 个，3 小时后分裂成 10 个并死去 1 个，,记 n(n N*)小时后细胞的个数为 an，则an=_(用 n 表示) 【解析】按规律，a1=4-1=3,a2=23-1=5,a3=25-1=9,an+1=2an-1,an+1-1=2(an-1),即an-1是等比数列，其首项为 2，公比为 2，故 an-1=2n，an=2n+1
13、 （本题也可由a1=3=2+1,a2=5=22+1,a3=9=23+1,猜想出 an=2n+1.)答案:2n+111 【 解析 】设等差数列an的公差为 d,因为 a3=-6,a6=0,所以1a2d6,50解得 a1=-10,d=2,所以 an=-10+(n-1)2=2n-12.设等比数列bn的公比为 q,因为 b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,所以-8q=-24,即 q=3,所以bn的前 n 项和为nn1nb(q)S4(3).答案：4(1-3n)12.【 解析】由已知可得3321322a1a()qq，21,q解得 q=1 或q.答案：1 或-13 【 解析 】由题意知 n2 时，2
14、an=Sn+Sn-1,2an+1=Sn+1+Sn,2an+1-2an=an+1+an,an+1=3an(n 2),又 n=2 时，2a2=S2+S1,a2=2a1=2,数列an中，a1=1,a2=2,an=2 3n-2(n2),S5=81.- 7 -答案：8114 【 解析 】Sn=2an-1,Sn+1=2an+1-1,an+1=2an+1-2an,即 an+1=2an.又S1=2a1-1 得 a1=1,an=2n-1,Tn=220+321+422+(n+1)2n-1,则 2Tn=221+322+n2n-1+(n+1)2n,-Tn=2+(2+22+2n-1)-(n+1)2n=n1nn2()2Tn=n 2n.答案：n2n15 【 解题指南】解答此类题目应先找规律，即先求 a2,a3,a4,从中找出周期变化的规律.【解析】由题意知 a2=f(a1)=f(3)=1,a3=f(a2)=f(1)=3,a4=f(a3)=f(3)=1,数列an是周期为 2 的数列，a2 013=a1=3.答案：316 【 解析 】(1)a1,a3 是函数9fx10的两个零点，a1,a3 是方程 x2-10x+9=0 的两根，又公比大于 1，故 a1=1,a3=9,则 q=3.等比数列an的通项公式为 an=3n-1.(2)由(1)知 bn=log3an+n+2=2n+1,数列
