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1、12013 版高考数学一轮复习精品学案：第八章 解析几何 8.3 曲线与方程【高考新动向】1考纲点击(1)了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系;(2)了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法;(3)能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程 .2热点提示（1）求点的轨迹、轨迹方程是高考的重点;一般用直接法、定义法或相关点法求解,所求轨迹一般为圆锥曲线；（2）经常在解答题的第一问中出现，属中低档题目；有时也在选择、填空题中出现.【考纲全景透析】1一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下关系：（1）曲线上点的坐标都是
2、这个方程的解。（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。注：如果中满足第（2）个条件，会出现什么情况？（若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点” ） ，则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程，如分段函数的解析式。2求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系.(2)设点设轨迹上的任一点 P(x,y).(3)列式列出动点 P 所满足的关系式 .(4)代换依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为 x,y 的方程式，并化简。(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.即：注:求轨迹和轨迹方程有什么不
3、同 ?(求轨迹和轨迹方程的不同:后者只指方程(包括范围), 而前者包含方程及所求轨迹的形状、位置、大小等。【热点难点全析】（一）用直接法求轨迹方程相关链接1如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含 x、 y的等式，得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。运用直接法应注意的问题2(1)在用直接法求轨迹方程时，在 化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.（2）若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略. 例题解析例如图所
4、示，设动直线 l垂直于 x 轴，且与椭圆24xy交于 A、B 两点，P 是 l上满足1PAB的点，求点 P 的轨迹方程。思路解析：设 P 点坐标为(x,y )求出 A、B 两点坐标 代入 1求 P 点轨迹 标明 x 的范围。解答：设 P 点的坐标为(x,y) ，则由方程24xy，得22yx，24y，A、B 两点的坐标分别为244(,),()x，又 1PAB，22(0,)(0,)1yyA，即2224,1,63xy又直线 l与椭圆交于两点，-2| 1O2|，动圆圆心 M（x,y）到点 （-3 ，0）和 （3，0）的距离和是常数 12，所以点 M 的轨迹是焦点为点 1（-3 ，0） 、 2（3，0）
5、 ，长轴长等于 12 的椭圆。2c=6,2a=12,c=3,a=6 23697b圆心轨迹方程为21xy，轨迹为椭圆。4方法二：由方法一可得方程 移项再两边分别平方得： (+3)2+2+(3)2+2=122(3)1xyx两边再平方得： ，整理得21367xy所以圆心轨迹方程为21367xy，轨迹为椭圆。注：（1）平面向量知识融入解析几何是高考命题的一大特点，实际上平面向量的知识在这里只是表面上的现象，解析几何的实质是坐标法，就是用方程的思想研究曲线，用曲线的性质研究方程，轨迹问题正是体现这一思想的重要表现形式，我们只要能把向量所表示的关系转化为坐标的关系，这类问题就不难解决了。而与解析几何有关的
6、范围问题也是高考常考的重点。求解参数问题主要是根据条件建立含参数的函数关系式，然后确定参数的值。（2）回归定义是解圆锥曲线问题十分有效的方法，值得重视。（3）对于“是否存在型”探索性问题的求解，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在。（三）用相关点法（代入法）求轨迹方程相关链接1动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点 P（x,y）却随另一动点 (,)Qxy的运动而有规律的运动，且动点 Q 的轨迹方程为给定或容易求得，则可先将 xy、 表示 x、y 的式子，再代入 Q 的轨迹方程，然后整理得 P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。2用代入法求轨迹方程的关键是
7、寻求关系式： (,)(,)xfg，然后代入已知曲线。而求对称曲线（轴对称、中心对称）方程实质上也是用代入法（相关点法）解题。注：用代入法求轨迹方程是将 x、y表示成 x、y 的式子，同时注意 x、y的限制条件.例题解析例已知 A（-1，0） ，B（ 1，4） ，在平面上动点 Q 满足 4AB，点 P 是点 Q 关于直线 y=2(x-4)的对称点，求动点 P 的轨迹方程。思路解析：由已知易得动点 Q 的轨迹方程，然后找出 P 点与 Q 点的坐标关系，代入即可。解答： 设 Q（x,y） ，则 (1,)(1,4)xyxy故由 4AB，即22()3xy所以点 Q 的轨迹是以 C（0，2）为圆心，以 3
8、 为半径的圆。点 P 是点 Q 关于直线 y=2(x-4)的对称点。动点 P 的轨迹是一个以 0(,)xy为圆心，半径为 3 的圆，其中 0(,)Cxy是点 C（0，2）关于直线y=2(x-4) 的对称点，即直线 y=2(x-4)过 0C的中点，且与 垂直，于是有50021(4)yx，解得：082xy故动点 P 的轨迹方程为22(8)()9xy。（四）用参数法求轨迹方程例设椭圆方程为142，过点 )1,0(M的直线 l交椭圆于点 A、B，O 是坐标原点，点 P 满足),(21OBAP点 N 的坐标为 2,，当 l绕点 M 旋转时，求：（1）动点 P 的轨迹方程；（2） 的最小值与最大值。解析：
9、（1）直线 l过点 )1,0(M，当斜率存在时，设其斜率为 k，则 l的方程为 ,1kxy记),(),(21yxBA、由题设可得点 A、B 的坐标 ),(,21yx、 是方程组 .42x的解，消去y得 ,032)4(kx22148kyx于是 ),(),(1 222121OBAP，设点 P 的坐标为 ),(yx，则 .4,2k消去参数 k得 042当 不存在时，A、B 中点为坐标原点（0，0） ，也满足方程，所以点 P 的轨迹方程为2yx。6（2）由点 P 的轨迹方程知,162x即,41x又,127)6(3)()()1( 2222 xyxN故当 4时， P取得最小值为 41；当 61x时， N取
10、得最大值为 62。【高考零距离】1 （2012辽宁高考文科T20）(12 分)如图，动圆221:Cxyt,10,化简，得：b0,b1,且 b24.设 P(x1,y1)、Q(x2,y2), OPQA=0,x1x2+y1y2=0,即 x1x2+(x1+b)(x2+b)=2x1x2+b(x1+x2)+b2=0.又x1+x2=3b2,x1x2=234,2 4+b +b2=0,化简得 b2=3,解得实数 b 的取值是 b=62.【探究创新】【解析】(1)设 M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),则 x02+y02=9， AM=(x-x0,y), B=(-x,y0-y).由 2B，得02xy，解得
11、03x2y,代入 x02+y02=9,化简得点 M 的轨迹方程为2x14.(2)由题意知 k0,15假设存在弦 CD 被直线 l 垂直平分，设直线 CD 的方程为1yxbk,由21yxbk4，消去 y 化简得(k2+4)x2-8kbx+4k2(b2-1)=0,=(-8kb)2-4(k2+4)4k2(b2-1)=-16k2(k2b2-k2-4)0，k2b2-k2-40,设 C(x1,y1)，D( x2,y2)，CD 中点 P(xp,yp),则 128kbx4,12p, 2pp24kbyxk4A，又 p2(1),224kb()4,得2k4b3,代入 k2b2-k2-40，得22()k9，,解得 k25, 5，当曲线 E 的所有弦都不能被直线 l:y=k(x-1)垂直平分时，k 的取值范围是 k5或 .
