《2013版高考数学一轮复习 6.2推理与证明精品学案 新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013版高考数学一轮复习 6.2推理与证明精品学案 新人教A版（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -第二节 推理与证明【高考新动向】一、合情推理与演绎推理1、考纲点击（1 ）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；（2 ）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；（3 ）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。2、热点提示（1 ）归纳推理与数列相结合问题是考查重点；（2 ）类比推理、演绎推理是重点，也是难点；（3 ）以选择题、填空题的形式考查合情推理；考查演绎推理的各种题型都有，难度不大，多以中低档题为主。二、直接证明与间接证明1、考纲点击（1 ）了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综
2、合法的思考过程、特点；（2 ）了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、特点；2、热点提示（1 ）本考点在历年高考中均有体现，主要以考查直接证明中的综合法为主；（2 ）分析法的思想应用广泛，反证法仅作为客观题的判官方法，一般不会单独命题；（3 ）题型以解答题为主，主要在与其他知识点交汇处命题。三、数学归纳法1、考纲点击（1 ）了解数学归纳法的原理；（2 ）能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。2、热点提示（1 ）归纳猜想证明仍是高考重点；（2 ）常与函数、数列、不等式等知识结合，在知识的交汇处命题是热点；（3 ）题型以解答题为主，难度中等偏上。【考纲全景透析】一、合情推理与演绎推
3、理- 2 -1.推理（1 ）定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.（2 ）分类：推理一般分为_ 合情推理_与_演绎推理_两类 .2.合情推理归纳推理 类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理归纳推理 类比推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理- 3 -一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之
4、间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)3演绎推理（1 ）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.（2 ）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理.（3 ）模式：三段论 “三段论 ”是演绎推理的一般模式：“三段论”的结构大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断“三段论”的表示大前提M 是 P.小前提S 是 M.结论S 是 P注：归纳推理和类比推理的特点与区别：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的。归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理。二、直
5、接证明与间接证明1、直接证明- 4 -1.直接证明（1 ）综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.框图表示： (P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论).文字表示为：“因为所以”或“由得”.思维过程：由因导果.(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止的证明方法.框图表示：(Q 表示要证明的结论）.文字表示为：“要证” ， “只需证” ， “即证”思维过程：执果索因.注：分析法的特
6、点是：从“未知”看“需知” ，逐步靠拢“已知” ，其逐步推理，实际上寻求它的充分条件；综合法的特点是：从“已知”看“可知” ，逐步推向“未知” ，其逐步推理，- 5 -实际上是寻找它的必要条件。分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法均能证明出来，往往选择较简单的一种。2、间接证明反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立） ，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法。三、数学归纳法数学归纳证题的步骤：（1 ）证明当 n 取第一值 0()nN时命题成立：（2 ）假设 n=k(k ,k )时命题成立，证明当
7、n=k+1 时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 0n开始的所有正整数 n 都成立。注：1、第一个值 0n是否一定为 1 呢？不一定，要看题目中 n 的要求，如当 n3 时，则第一个值 0应该为 3。2、数学归纳法两个步骤有何关系？数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推。两者缺一不可。【热点难点全析】一、合情推理与演绎推理（一）归纳推理相关链接1、归纳推理的特点：（1 ）归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；（2 ）归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础
8、之上的。2、归纳推理的一般步骤：（1 ）通过观察个别情况发现某些相同本质；（2 ）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题。注：归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明。例题解析例设1()3xf，先分别求 (0)1,()2,()3,ffff，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明。思路解析：由 f(x)计算各和式 得出结论 归纳猜想 证明解答： 011()1 263333f ，同理可得：()2,ff(2)ff。- 6 -证明：设 12,x121212 2121212(3)(3)3()3 ()()()xxxxx xx xf （二）类比推理相关链接1、类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤是：
9、（1 ）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2 ）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想） 。2、类比是科学研究最普遍的方法之一。在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段。类比在数学中应用广泛。数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的。注：类比推理推得的结论不一定正确，其正确性，有待进一步证明。例题解析例 1请用类比推理完成下表：平面 空间三角形两边之和大于第三边 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边
10、上高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个面的面积与该面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半思路点拨：由表格一、二两个问题的类比可知，线对面，长度对面积，从而内切圆应相对内切球，从而可解。解答：本题由已知前两组类比可得到如下信息：平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；三角形的面积公式中的“二分之一” ，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象。由以上分析可知：故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积
11、的三分之一。（本题结论可用等体积法，将三棱锥分割成四个小三棱锥去证明，此处略）例 2平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行。类似地，写出空间中的一个四棱锥为平行六面体的两个充要条件：充要条件： - 7 -充要条件： 解答：两组对边分别平行类比可得三组对面分别平行。一组对边平行且相等类比可得两组对面分别平行且全等。答案：三组对面分别平行；两组对面分别平行且全等。注：类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法。例如分式与分数类比、平面几何与立体几何的某些对象类比等。当然类比时有能出现错误，如：在平面内，直线 a、b、c，若 ab,
12、bc，则 ac ；在空间，三个平面、，若 ,，但 与 之间可能平行，也可能相交。（三）演绎推理例 1（1 ）证明函数2()fxx在 ,1上是增函数；（2 ）当 5,2x时， 是增函数还是减函数？思路解析：（1）证明本题的大前提是增函数的定义，即增函数 ()fx满足：在给定区间内任取自变量的两个值 12,x且 12x， 12()ffx，小前提是函数2x，x,，结论满足增函数定义。（1 ）关键是看 5,与 ()fx的增区间或减区间的关系。解答：（1）方法一：任取 12, ,， 12x则 1212112211212()(),0,()0,()fxfxxxfxffxf于是，根据“三段论”可知， 2()f
13、在 ,上是增函数；方法二： ()(1),(,)10,2(1)0,()(,1),fxxxxfx当 时 ， 在 上 恒 成 立 .故 在 上 是 增 函 数 。（2 ） ()f在 上 是 增 函 数 ，而 5,是区间 ,的子区间， ()f在5,上是增函数。注：三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合 M 的所有元素都具体性质 P，S 是M 的子集，那么 S 所有元素都具体性质 P。三段论推理中包含三个原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论。例 2用三段论的形式写出下列演绎推理。（1 ）若两角是对顶角，
14、则该两角相等，所以若两角不相等，则该两角不是对顶角；（2 ）矩形的对角线相等，正方形的是矩形，所以正方形的对角线相等；- 8 -（3 ） 0.2是有理数；（4 ） y=sinx(xR)是周期函数。解答：（1）两个角是对顶角，则两角相等， 大前提1 和2 不相等 小前提1 和2 不是对顶角 结论（2 ）每个矩形的对角线相等 大前提正方形是矩形小前提正方形的对角线相等结论（3 ）所有的循环小数是有理数， 大前提0.2是循环小数，小前提所以 是有理数结论（4 ）三角函数是周期函数， 大前提y=sinx 是三角函数，小前提y=sinx 是周期函数结论二、直接证明与间接证明（一）综合法证明不等式相关链接1、综合法是“由因导果” ，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性。用综合法证明题的逻辑关系是： 12nABB（A 为已知条件或数学定义、定理、公理等，B 为要证结论） ，它的常见书面表达是“，”或“ ”；2、综合法是中学数学证明中常用方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。例题解析例已知 x+y+z=1，求
